線形代数

質問

R^nのベクトル{a_1,a_2,…,a_r}は一次独立であるとする。このとき、次の組は一次独立か、一次従属か。
{(a_1)+(a_2),(a_2)+(a_3),…,(a_(r-1))+(a_r),(a_r)+(a_1)}

答えは、rが偶数のとき一次従属、奇数のとき一次独立と分かっているのですが、それをどうやって、導き出すのかが分からず、困っています。
何かアドバイスなど頂けると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

kiをスカラーとして、
k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+…+kr(ar+a1)=0
において、kiが全部0でなければならないか、少なくとも1つは0でない
ようにできるかを考える。
変形すると、
(kr+k1)a1+(k1+k2)a2+…(k(r-1)+kr)ar=0
a1,a2,…,arは一次独立だから、
kr+k1=0,k1+k2=0,…,k(r-1)+kr=0
この連立方程式をk=(k1,k2,…,kr)をベクトルとして、行列の形で、
Ak=0のように書いてみる。
すると、Aは、
1 1 0 0・・・0
0 1 1 0・・・0
・・・・・・・
0 0 ・・・ 1 1
1 0 ・・・ 0 1
のようになる。
この行列の行列式を最後の行に関して余因子展開してみると、
n行1列目に関するところと、n行n列目に関するところだけがのこり、
nが偶数ならn+1=奇数、n+n=偶数、nが奇数ならn+1=偶数、n+n=偶数
なので、行列式が0であるか0でないかが分かり、kiが全部0か少なく
とも1つは0でないかがわかるのでは。

お礼

アドバイスありがとうございます。
無事解くことができました！

回答No.5

Aronse

定義よりk1(a1+a2)+k2(a2+a3)+…+kr(ar+a1)=0
がk1=k2=…=kr=0（自明な解）以外の解をもてば一次従属なので
rが偶数の場合は、
k1=k3=k5=…=1, k2=k4=k6=…=-1を代入すると、
(a1+a2)-(a2+a3)+(a3+a4)-(a4+a5)+…-(ar+a1)=0となり
非自明解が存在します。よって一次従属となります。

お礼

補足ありがとうございます。無事解くことができました。
ありがとうございました！

回答No.4

masudaya

宿題みたいですね.
rが偶数のときのみ,奇数は御自身でお考え下さい．
r＝2kとする.
今対象となっている,ベクトルを
{b1,b2,・・・,b2k}
として,この1次結合
c＝Σ(i=1to2k) (-1)^(i-1)*bi
とすると
c=a1+a2+a3+a4+・・・+a2k-(a2+a3+a4+a5+・・・+a2k+a1)=0
となるので1次従属となります.

n=4,6程度で試すとすぐに分かりますよ.

お礼

なるほど。ありがとうございます。
色々なnの値を試してみたところ、すぐ分かりました。

ありがとうございました。

回答No.3

Aronse

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3448654.htmlと似ている問題ですね。
r：偶数のときは
(a1+a2)-(a2+a3)+(a3+a4)-(a4+a5)+…-(ar+a1)=0
なので一次従属です。
r：奇数のときは
2さんの記号を使わせていただくと（途中まで2さんのやりかたと同じ）
kr+k1=0…(1)
k1+k2=0…(2)
…
k(r-1)+kr=0
(1)-(2)より、k2=kr
(2)-(3)より、k1=k3
(3)-(4)より、k2=k4
…
r番目の式-(1)より、k(r-1)=k1
となります。よってk1=k2=…kr=0
一次独立が分かります。

補足

回答ありがとうございます。
質問なのですが、
>r：偶数のときは
>(a1+a2)-(a2+a3)+(a3+a4)-(a4+a5)+…-(ar+a1)=0
とありますが、何故符号がマイナスになる部分が出てくるんでしょうか？

回答No.1

koko_u_

>導き出すのかが分からず、困っています。
わからん時は、まず簡単な場合、r = 2 とか 3 を考えるんだ。

>何かアドバイスなど頂けると嬉しいです。
あなたは今何も考えていません。自分が持っている脳味噌を活用して下さい。