線形代数の次元について

質問

a1,a2,…,arを部分ベクトル空間Wの基底とする。
Wの次元がrであることを示すために
b1,b2,…,br,br+1∈Wが一次従属であることを示せばよい

とあるのですが
これだけの条件で
b1,b2,…,br,br+1が一次従属であることを示すには
どうすればいいのでしょうか？

回答No.2

devilstick

すいません、こちらが勘違いをしていましたorz
「次元がnのベクトル空間において
r個のベクトルの集合をとる(r＞nとする)と、
それらは一次従属となる」と同じことですよね。(?)
これを示すためにnに関する数学的機能法を用いると、
(ⅰ)n=1のとき、
b1=(b1),b2=(b2)が
k1b1+k2b2=0…☆を満たしているとすると、
b1はゼロでないので
k1=k2b2/b1,k2はゼロでない数とすれば
☆をみたすすべてが0ではない実数k1,k2が存在する。
よって、b1,b2は一次従属。
(ⅱ)n-1まで成り立つとして、
b1=(b11,b12,…,b1n)
b2=(b21,b22,…,b2n)
……
bn=(bn1,bn2,…,bnn)が、
k1b1+k2b2+…+knbn=0を満たしているとすると、
連立方程式
　k1b11+k2b21+…+knbn1=0　…★
　k1b12+k2b22+…+knbn2=0
　……
　k1b1n+k2b2n+…+knbnn=0
が成り立つ。
ここで、b1はゼロベクトルではないので、
ゼロでない成分をもつ。いま、b11がゼロでないとすると、
(他の成分がゼロでないときも同様に計算すればよい)
★を使って二番目以降のk1を消去すると、
　k1b11+k2b21+…+knbn1=0
　 k2a22+…+knan2=0
　……
　 k2a2n+…+knann=0
と書ける。ここで、
a1=(a21,a31,…,an1)
a2=(a22,a32,…,an2)
……
an=(a2n,a3n,…,ann)とおけば、
a1,a2,…,anは次元がn-1のベクトル空間における
n個のベクトルである。
よって、★の2番目以降の式を満たすような
すべてがゼロではないk2,k3,…knが存在し、
k1=-k2b21/b11-k3b31/b11-…-knbn1/b11とおけば、
★が成り立つ。よってb1,b2,…,bnは一次従属である。
したがってnのときも成り立つ。

こんな感じでＯＫだと思いますが…
なんか添え字とか数式とか見にくくなってしまって
申し訳ないです。わかりにくかったら聞いて下さいなorz

回答No.1

devilstick

b1,b2,…,br,br+1とはなんのことか
この文章から分からないのですが
よかったらもうすこしさかのぼって
全文を書いていただけると助かります。
詳細キボンヌ…

補足

次元がｒのベクトル空間において
r+1個のベクトルの集合をとると、それらは一次従属となる

ということが言いたいために
b1からb(r+1)までのベクトルをとって、れらが一次従属であることを示す。

という問題だと思うのですが
何分当方がこの問題を理解できていない可能性があるため
説明がおかしいかもしれませんが、もしわかっていただけたなら助言おねがいいたします