線形代数なのですが

質問

３個のベクトルの組が一次独立となるa,b値の範囲を求めるのですがわかりません。
ご教授お願いします。

回答No.7

info22

#1,#4,#6です。
A#6の補足の質問とそれにかかわる訂正とお詫び
>{5(a-6)+3(b+3){*c3=0じゃないんですか？
すみません転記ミスです。
(2-4)式は
{5(a-6)+3(b+3)}*c3=0
としてください。(A#4,A#6とも訂正）

この訂正に伴って連立方程式に影響が及びますので改めて
連立方程式を解く過程と答えを以下で差し替えてください。
　c1+2c2+3c3=0　…(2-1)
　c2+(6-a)c3/3=0　…(2-2)
　(a-3)c3=0　…(2-3)
　{5(a-6)+3(b+3)}c3=0　…(2-4)
(2-3)で
a≠3の場合
　c3=0
(2-2)から
　c2=0
(2-1)から c1=0
(2-4)は常に成立するので bは任意の定数。
◆a≠3,b=任意の定数
a=3の場合
(2-2)から
　c2+c3=0
(2-4)から
　(b-2)c3=0
b≠2の場合　c2=c3=c1=0
◆a=3,b≠2
b=2の場合 c2=-c3
　(2-1)から　c1=c2=-c3=任意定数（一意に0と決まらない）
　a=3,b=2は一次独立にならないので不適

２つの◆をまとめると
「a≠3またはb≠2」
これが答えになります。

お礼

最後まで付き合っていただきありがとうございました。
とても感謝しています。

回答No.6

info22

#1,#4です。
A#4の訂正。
最後のまとめ方がミスったようです。
>以上をまとめると
>３つのベクトルが一次独立になる為の条件は
>　a≠6,b=-3
これは
「b=-3、aは任意の定数」
と訂正します。

以下に詳細を書きます。
A#4 の(2-1)～(2-4)の連立方程式を解く所から
　c1+2c2+3c3=0　…(2-1)
　c2+(6-a)c3/3=0　…(2-2)
　(a-3)c3=0　…(2-3)
　5(a-6)c2+3(b+3)=0　…(2-4)
(2-3)で
a≠3の場合
　c3=0
(2-2)から
　c2=0
(2-1)から c1=0
(2-4)から b=-3
◆a≠3,b=-3
a=3の場合
(2-2)から
　c2+c3=0
(2-4)から
　-5c2+b+3=0
b=-3の場合　c2=c3=c1=0
◆a=3,b=-3
b≠-3の場合 c2=(b+3)/5=-c3=c1≠0
　(2-1)から　c1=c2
　a=3,b≠-3は一次従属にならないので不適

２つの◆をまとめると
「b=-3、aは任意の定数」
これが答えになります。

b=-3とすると、(2-1)～(2-4)の連立方程式を解くと場合分けでa=3,a≠3,a=6,a≠6の場合がでますがいずれもc1=c2=c3=0となるので3個の列ベクトルv1,v2,v3が一次独立となることが確認できます。

補足

すみません(2-4)の式がいまいちわからないのですがどうしてc2がかかっているのですか？
{5(a-6)+3(b+3){*c3=0じゃないんですか？

回答No.5

noname#101087

>３個のベクトルの組が一次独立となるa,b値の範囲　....

　| 1|　|2|　|3|　← r1
　| 2|　|1|　|a|　← r2
　| 1|　|2|　|a|　← r3
　|-1|　|3|　|b|　← r4
　 ↑　 ↑　 ↑
　c1　 c2　　c3

問題をすり替えて、３個の列ベクトル (c1, c2, c3) が従属のときの a, b を求めてみましょうか…。

列係数を {k1, k2, 1} としてみる。
　i.e.　k1*r1 + k2*r2 + r3 = 0
まず、一行目 (r1) から
　k1*1 + k2*2 + 3 = 0
　i.e.　k1 = -k2*2 - 3
これを二～四行目 (r2～r4) へ代入。
　-4*k2 - 6 + k2 + a = -3*k2 - 6 + a = 0
　-2*k2 - 3 + 2*k2 + a = - 3 + a = 0
　 2*k2 + 3 + 3*k2 + b = 5*k2 + 3 + b = 0
これを解けば、
　a = 3
　k2 = -1
　b = 2
つまり、　
　a = 3, b = 2
ならば、列係数 {k1, k2, 1} を {-1, -1, 1} の定数倍 (ただし非零) として、列ベクトル (c1, c2, c3) が従属、なのかな？

…だとすると？

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

info22

#1です。
A#1の補足について
>c1 c2 c3とおいてc1=c2=c3=0となれば一次独立であるといえると思います。
列ベクトルをv1,v2,v3とおいたとき
スカラー定数c1,c2,c3に対して
c1v1+c2v2+c3v3=0…(1)
を満たすスカラー定数c1,c2,c3がc1=c2=c3=0以外存在しないときv1,v2,v3が一次独立ということですね。
ベクトルを行列で表すと
V=[v1 v2 v3]=
[1 2 3]
[2 1 a]
[1 2 a]
[-1 3 b]

Vを簡約化すると
>計算は簡略化できてないかもしれませんが
>1 2 3
>0 1 (6-a)/3
>0 0 a-3
>0 0 (6-a)/3+(b+3)/5

この一番したの行がちょっと間違いで

[1 2 3]
[0 1 (6-a)/3]
[0 0 a-3]
[0 0 5(a-6)+3(b+3)]

となります（列が不揃いですが、各列が縦に並んでいるとみて下さい）
この行列を改めて
U=[u1 u2 u3]とおくと
C=[c1 c2 c3]^t ← [ ]^tは転置
U・C=0 ←ゼロ行列

ばらして書き下すと
　c1+2c2+3c3=0　…(2-1)
　c2+(6-a)c3/3=0　…(2-2)
　(a-3)c3=0　…(2-3)
　5(a-6)c2+3(b+3)=0　…(2-4)
これは本来はc1,c2,c3が変数でa,bが定数であるが、
a,bの条件も絡んでくるので,a,bも変数とみなすと、
方程式が４個、変数が5個なので、自由度が１である。しかし、4つの式が一次独立でなくなれば自由度が2にもなる可能性がある。
c1,c2,c3,a,bを変数とみなして解くと
c1=c2=c3=0,b=-3,a=k1(任意定数)　…(3)
または
c1=c2=-k2,c3=k2,a=3,b=-3-5k2　…(4)

改めて(2-1)～(2-4)がc1,c2,c3の方程式とみる。
(3)の場合のa=k1,b=-3を(2-1)～(2-4)に代入
c1=c2=c3=0となるための条件は　a≠3,6,b=-3

(4)の場合のa=3,b=-3-5k2を(2-1)～(2-4)に代入
c1=c2=c3=0となるための条件は　a=3,b=-3

以上をまとめると
３つのベクトルが一次独立になる為の条件は
　a≠6,b=-3
ということになりますね。

回答No.3

Tacosan

計算があっていることを仮定します.
もとの 3本のベクトルが一次独立であることと, 処理して得られたその 3本のベクトルが一次独立であることが同値だってのは OK ですね? まあ, ここが OK じゃないとすると「何のためにそんな計算してるの?」ってことになりますが.
得られた 3本のベクトルにそれぞれ c1～c3 を掛けて線形結合を作ります. この線形結合の第3成分は c3(a-3) ですから, a ≠ 3 なら「第3成分が 0 である」ことと「c3 = 0 であること」とは同値です. すると第2成分から c2 = 0, さらにそこから c1 = 0 も導けるので「線形結合が 0 である」ことと「c1 = c2 = c3 = 0 である」こととが同値になるので一次独立です. この過程において第4成分の (6-a)/3+(b+3)/5 は関係ありません. a ≠ 3 である限り, これが 0 かどうかは結論に影響しません.

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

その計算があっていると仮定すると, 例えば a-3 が 0 でなければ 3本のベクトルが一次独立だってのは OK?

補足

う～ん・・・okでないかもです。

a-3≠０で一次独立になるのですか？
このとき(6-a)/3+(b+3)/5はどうなるのですか？
(6-a)/3+(b+3)/5=0でないといけないような気がするのですがどうなのでしょうか？

回答No.1

info22

添付画像が不鮮明でよく分かりません。
直接書き込むか、鮮明な画像を添付して下さい。

一次独立の定義や一次独立かどうかの調べ方は分かっていますか？
わかっている範囲での解答の途中計算を書いて、その先の分からない所を質問するようにして下さい。

補足

すみませんベクトルは
1 2 3
2 1 a
1 2 a
-1 3 b　です。

c1 c2 c3とおいてc1=c2=c3=0となれば一次独立であるといえると思います。

あとはこの場合rankが3であればいいのかな？いまいち確信がありません。

計算は簡略化できてないかもしれませんが

1 2 3
0 1 (6-a)/3
0 0 a-3
0 0 (6-a)/3+(b+3)/5

こっからがよくわかりません。おそらく場合分けがいると思うのですが・・・・