a1,a2,a3をR^3のベクトルで
|ak|^2=<ak,ak>=1(k=1,2,3),
<a1,a2>=<a2,a3>=<a3,a1>=1/2
とする
(1)
xa1+ya2+za3=0
とすると
2<xa1+ya2+za3,a1>=2x|a1|^2+2y<a1,a2>+2z<a1,a3>=2x+y+z=0…(1)
2<xa1+ya2+za3,a2>=2x<a1,a2>+2y|a2|^2+2z<a2,a3>=x+2y+z=0…(2)
2<xa1+ya2+za3,a3>=2x<a1,a3>+2y<a2,a3>+2z|a3|^2=x+y+2z=0…(3)
(1)-(2)から
x-y=0…(4)
(1)*2-(3)から
3x+y=0
↓これ+(4)から
4x=0
↓両辺を4で割ると
x=0…(5)
↓これを(4)に代入すると
-y=0
↓両辺に-1をかけると
y=0…(6)
↓これを(1)に代入すると
z=0
↓これと(5),(6)から
x=y=z=0
↓
a1,a2,a3は一次独立である
(2)
f:R^3→R^3をf(a1)=0,f(a2)=a3,f(a3)=a2をみたす線形写像とする。
a1,a2,a3は一次独立だからR^3の基底だから
任意のX∈R^3に対して
X=xa1+ya2+za3
となる(x,y,z)があり
f(X)=f(xa1+ya2+za3)=ya3+za2
となりa1,a2,a3は一次独立だからa2,a3は一次独立だから
fの像Im f の基底は
[a2,a3]
(3)
A=
(0,0,0)
(0,0,1)
(0,1,0)
X=(x;y;z)=xa1+ya2+za3
とすると
AX=(0;z;y)=za2+ya3=f(X)
だから
基底(a1,a2,a3)に関するf:R^3→R^3の表現行列Aは
A=
(0,0,0)
(0,0,1)
(0,1,0)
(4)
|tE-A|
=
|t,0,0|
|0,t,-1|
|0,-1,t|
=
t(t^2-1)=0
だから
fの固有値は
0,1,-1
(5)
固有値0に対する固有ベクトルを(x;y;z)=xa1+ya2+za3とすると
(0,0,0)(x)=(0)
(0,0,1)(y).(0)
(0,1,0)(z).(0)
z=0
y=0
(x;y;z)=(x;0;0)=x(1;0;0)=xa1
だから
固有値0に対する固有ベクトルはa1
固有値1に対する固有ベクトルを(x;y;z)=xa1+ya2+za3とすると
(0,0,0)(x)=(x)
(0,0,1)(y).(y)
(0,1,0)(z).(z)
x=0
z=y
(x;y;z)=(0;y;y)=y(0;1;1)=y(a2+a3)
だから
固有値1に対する固有ベクトルはa2+a3
固有値-1に対する固有ベクトルを(x;y;z)=xa1+ya2+za3とすると
(0,0,0)(x)=(-x)
(0,0,1)(y).(-y)
(0,1,0)(z).(-z)
x=0
z=-y
(x;y;z)=(0;y;-y)=y(0;1;-1)=y(a2-a3)
だから
固有値-1に対する固有ベクトルはa2-a3
∴
固有値0に対する固有ベクトルはa1
固有値1に対する固有ベクトルはa2+a3
固有値-1に対する固有ベクトルはa2-a3
お礼
ありがとうございます！！🙇♂️