線形代数の1次独立

質問

a=(1,2),b=(3,4),c=(5,6)このベクトルの組を1次独立かどうかを判定せよ。これの回答をおねがいしたい；；

あとa=(2,3,0),b=(0,1,-2),c=(1,2,-1)、このベクトルの組を1次独立かどうかを判定せよ。も教えて欲しいです。とき方の想像がつきません；；

回答No.1

betagamma · ベストアンサー

あるベクトルの組が、一次独立かどうかというのは、とても簡単な話です。
組a,b,cがあったら、ある定数r,sで、c=ra+sbのようにかけてしまえば、一次独立ではありません。
四つだったら、d=ra+sb+tcのようにかけてしまえば、一次独立ではありません。

a,b,cの順番は気にする必要はありません。なぜなら、もし、c=ra+sbという風にかけたとしたら、
c-ra=sb→b=(1/s)c+ (-r/s)a
として、bがa,cで表せるということもできますし、
c-sb=ra→a=(1/r)c+ (-s/r)b
と、aがb,cで表せるということもできます。
ですから、とにかく、c=ka+lbと連立方程式を立てて考えて、解が出れば「一次独立でない」、解が出なければ、「一次独立」と考えるのがよいでしょう。

たとえば、最初の問題なら、
c=ra+sbのようにかけたとするなら、
5 = r*1 + s*3…(1)
6 = r*2 + s*4…(2)
となります。(2)-2*(1)で、-4=s*(-2)∴s=2
これを、(1)に代入して、r=5-s*3=5-2*3=-1
と解が出ます。解が出るので、一次独立ではありません。

二つ目の問題は、
1 = r*2 + s*0…(1)
2 = r*3 + s…(2)
-1 = r*0 + s*(-2)…(3)
ですね。
(1)よりr=1/2で、(3)よりs=1/2で、(2)では、r*3+s=3/2+1/2=2となっているので、これも一次独立ではありません。

ところが、もしこの問題が、
a=(2,3,0),b=(0,1,-2),c=(1,3,-1)が一次独立かどうかを判定せよ
であれば、
1 = r*2 + s*0…(1)
3 = r*3 + s…(2)
-1 = r*0 + s*(-2)…(3)
となり、r=1/2,s=1/2は変わらないのに、(2)のr*3+s=2≠3になるので、これは一次独立になります。

お礼

ありがとう。
わかりやすかったんですが、行列を使ってとく方法ってありませんか？？

回答No.2

track

a=(1,2)とかは、とりあえず列ベクトルとして見ました。

一つ目は一次従属でしょうね。
「n+1個のn項ベクトルは一次従属」なので。
その問題は２次元ベクトルが３つの組になっているのですぐ分かりますね。

二つ目はa,b,cを並べた行列式を解いてみると分かります。
2　0　1
3　1　2
0 -2 -1
この行列式の値が"0なら一次従属"、"非0なら一次独立"です。

お礼

アリガトウ！！
なんとなくわかりましたｗｗ