線形代数学の定理の証明

質問

度々申し訳ございません。

R^nのn+1以上のベクトルは常に1次従属である

という定理があるのですが、自力では証明が出来ません。
どうか御教授を。

回答No.2

Rossana · ベストアンサー

n+1個のn項行ベクトルを
a0=(a01 a02 … a0n),…,an=(an1 an2 … ann)
とする。
これらのベクトルに対しn+1個のn+1項行ベクトル
b0=(a01 a02 … a0n 0),…,bn=(an1 an2 … ann 0)
を作ると,
α0b0+α1b1+…+αnbn=0　…(1)
⇔(Σαkak1 Σαkak2 … Σαkakn Σαk×0)=(0 0 … 0 0)
となりn+1列目に注目！！
αk=0（k=0,1,…,n全てに対して)以外のαkが取れるので、

b0,b1,…,bnの間には自明な一次関係式以外の関係式も成立
⇔b0,b1,…,bnは一次従属
となる。
(1)式の第１成分から第n成分までだけを考えると、
　　　α0a0+α1a1+…+αnan=0　
先ほどの議論により
『αk=0（k=0,1,…,n全てに対して)以外のαkが取れる』
ということが分かったので、この式も自明な一次関係式以外の関係式である。
故に、a0,a1,…,anは一次従属となる。

これで、R^nのn+1個ののベクトルは常に1次従属を証明しました。これをn+1以上とするには次の定理を使います。
『a1,…,alが一次従属なら、これにどんなベクトルal+1,…,amを付け加えてもa1,…al,al+1,…,amは一次従属である』この定理は対偶をとれば簡単に証明できるので自分で考えて下さい。

お礼

丁寧に証明していただきありがとうございます。
しかしこんなに証明が長いとは…。

回答No.1

uyama33

他の質問などをみると、お一人で勉強されている
ように思いました。

　線形代数の本は、沢山あるし演習書もあると思います。
他の参考書をご覧になるか、線形代数演習の本を
調べるのが、時間の節約になると思います。

　基本的な技法は、自分で考えるよりも
他の人の証明や参考書を読んでみるのが早道かと思います。

　ご質問については
n+1本のベクトルのうちからn本を選んで行列を作って、
その行列が逆行列を持つか持たないか
によって 場合分けをして考えるとよいのではないでしょうか。

お礼

ご指摘ありがとうございます。
図書館などを漁って自分に合う本を見つけたいと思います。