線形代数の問題

質問

大学の線形代数の問題です。
これがよく分かりません。
方針だけでも教えていただけませんか＞＜

問.Ｖをベクトル空間とする。ｎ個の線形独立なベクトルx1,x2,…,xn（Ｖの要素）がＶの基底をなすための必要十分条件は、これらに任意のベクトルy（Ｖの要素）を加えたx1,x2,…,xn,yが線形従属となることである。このことを証明せよ。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

x1,x2,…,xnがVの基底ならばVの次元はnであり、したがってVからn+1
個のベクトルを取ればそれらは線形従属ですね。

逆に、x1,x2,…,xn,yが線形従属だとすると、
a1x1+…+anxn+by=0
としたとき、少なくとも一つの係数は0ではないですね。
ここでb=0としてしまうと、
a1x1+…+anxn=0
となって、x1,…,xnが線形独立なことからすべてのa1,…,anが0になっ
てしまいます。
よって、b≠0
これより、bの逆元を掛ければ、任意のyがx1,…,xnの線型結合で表わさ
れて、これらはVの基底になります。

回答No.2

ka1234

こんにちは。

＞方針だけでも教えていただけませんか

教科書で、「線型独立」「線型従属」「基底」「極大線型独立系」
などを調べてみて、定義をノートに書き写します。

そしてそれらをあてはめていけば出来そうです。

[ヒント]
付け加えるベクトルを y とおかないで、x(n+1) とおいてみると、
定義に直結するかもしれません。