線形代数の問題です。

質問

n次元のr個のベクトルの組{a1,a2,…,ar}が１次独立のとき、次の組は１次独立か１次従属か？
{a1+a2,a2+a3,…,ar-1+ar,ar+a1}

以上の問題の解き方がわかりません。
先生からヒントとして「偶数と奇数に分けて考える」と言われたのですが、それはrを場合分けするということでいいのでしょうか。
ご回答お願いいたします。

回答No.2

bluemoon1120 · ベストアンサー

n次元のr個のベクトルの組{a1,a2,…,ar}一次独立であとは

k1*a1+k2*a2+…kr*ar=0 ならば

k1=k2=…=kr=0

でしたよね。

今このことがわかっていて
{a1+a2,a2+a3,…,ar-1+ar,ar+a1}が
一次独立か一次従属かを調べたいので

c1(a1+a2)+c2(a2+a3)+…+cr-1(ar-1+ar)+cr(ar+a1)=0

という関係式を考えたときに
c1,c2,…,cr　がどうなるかを調べればいいわけです。

そこでyaksaさんの回答の後半にもあるように
rが偶数の場合、
(a1+a2)-(a2+a3)+…+(ar-1+ar)-(ar+a1)
が０になる。
よって、（c1,c2,…,cr）≠(0,0,…,0) なので
{a1+a2,a2+a3,…,ar-1+ar,ar+a1}は一次従属

rが奇数の場合は自分で回答してみてください。

お礼

回答有り難うございます。
とても分かりやすい解説でした。
実は、c1(a1+a2)+c2(a2+a3)+…+cr(ar+a1)=0と置くところまでは自力で辿り着けていて、その後が行き詰まってしまっていたのです。
偶数の解法を参考に奇数の場合は自力で頑張ってみます。

回答No.1

yaksa

1 1 0 0 0 … 0 0 0
0 1 1 0 0 … 0 0 0
0 0 1 1 0 … 0 0 0
………………………
0 0 0 0 0 … 1 1 0
0 0 0 0 0 … 0 1 1
1 0 0 0 0 … 0 0 1

という行列の行列式を調べて０なら１次従属、０以外なら１次独立ですね。
展開して計算していくと、rが偶数のとき、rが奇数のときで行列式の値が異なることがわかります。

もちろん行列式を計算しないでも、rが偶数の場合、
(a1+a2)-(a2+a3)+…+(ar-1+ar)-(ar+a1)
を計算すると０になることがわかりますが。

お礼

回答有り難うございます。
行列式はベクトルの次元と個数が一致の時に利用できるんでしたよね？
今回の問題は最後の方のやり方でやってみますが、他も問題で行列式を使って解くときに参考にさせていただきたいと思います。