数列・関数の極限について

質問

俗に言う「はさみうちの原理」とその周辺に関して質問があります。

数学IIIの教科書によると，

すべての自然数nに対し a_n ≦ b_n ≦ c_nのとき
lim{n→∞}a_n = lim{n→∞}c_n = α（定数）　⇒　lim_{n→∞}b_n = α

lim{x→∞}f(x) = lim{x→∞}h(x) = α（定数）とする。
十分大きいxに対し，f(x) ≦ g(x) ≦ h(x)　⇒　lim_{x→∞}g(x) = α

となっております。

(1)limを登場させる順番がなぜ違うのか？
　　数列の極限の方ではまず不等式を記し，関数の極限の方ではlimから記しています。

(2)「すべての」と「十分大きい」の部分は数列の極限と関数の極限で異なるか？
　　数列の極限の方でも「十分大きい自然数nに対し」でもよいような気がするのですが…。

以上、よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

あくまでも思ったことですので、参考程度にしてください。

(2)で指摘されている「すべての」と「十分大きい」の違いだと思います。

関数の極限についても
「すべての実数 xに対し、f(x) ≦ g(x) ≦ h(x)のとき、
lim{x→∞}f(x) = lim{x→∞}h(x) = α（定数）⇒ lim_{x→∞}g(x) = α」
が言えると思います。

関数の極限で「十分大きい」と書かれているのは、
g(x)= 1/(x-2)のように、xの小さいところで発散がある場合を考慮しているように思いました。

同じように、数列の場合でも一般項が分数関数のような形であるときは、「十分大きい」ときとして考えることもあるかもしれません。
高校数学の範囲ではあまり出てこないでしょうが。

回答No.3

koko_u_u

>(1)limを登場させる順番がなぜ違うのか？

特に意味はないと思われます。

>(2)「すべての」と「十分大きい」の部分は数列の極限と関数の極限で異なるか？

指摘の通り、十分大きい n について不等式が成立すればよいです。

回答No.2

Duke_Mike

私も数学の専門ではないので、あくまで参考意見として。

(1)に関して
どちらも同じ意味だと思います。

(2)に関して
物性といったような別の世界で工学上実際にこうゆうものを扱う場合、
何に対して何が小さいと見るかということにコダワリます。

飛び飛びの値の集合であっても無限というものの前には無限小であるから、この飛び飛びの値は近似的に連続であるとかそういう理論が通ります。ので極限値を考える時は数列も関数もほぼ同義に考えて問題ないのではと思っています。

ただ、最初にもいいましたが、数学の専門家でないので、厳密性にかけるのであくまで、工学的にこういうのをかじったことがあるという人間の意見として参考までに。