積分の問題ですが・・・

質問

『１次式ｆｎ（ｘ）（ｎ＝１，２，３・・・・）が
ｆ１（ｘ）＝ｘ＋１
ｘ＾２ｆ（ｎ＋１）（ｘ）＝ｘ＾３－ｘ＾２＋∫（０→ｘ）ｔｆｎ（ｔ）ｄｔ（ｎ＝１，２，３・・・・）
を満たすとき、ｆｎ（ｘ）を求めよ。』

という問題が分かりません。
とりあえず定積分のとこは積分したらｘの関数になるってことと、ｆ（ｎ＋１）とｆｎから漸化式かなぁてことくらいしか分かりませんでした。

※ｆ（ｎ＋１）は問題ではｆｎ＋１って書かれてます。わかりやすくするためにこう書きました。よく数列で出てくるｆのｎ＋１番目って奴です。

どうかよろしくお願いします！

回答No.4

springside · ベストアンサー

＃３です。

b[n]を間違えてました。

b[n]+2={b[1]+2}×(1/2)^(n-1)
よって、
b[n]=3×(1/2)^(n-1)-2

以上より、
fn(x)={(3/2)-(1/2)(1/3)^(n-1)}x + 3×(1/2)^(n-1)-2

※：答と違うようですが．．．。

お礼

回答していただき有難うございます。

恥ずかしい話ですが、問題間違えてました（苦笑
『ｘ＾３－ｘ＾２』というところが『ｘ＾３＋ｘ＾２』でした。ホントにすみません。

ですがspringsideさんのやり方で解いたら答えと一致しました。ありがとうございます。

回答No.3

springside

こんな感じですかね。
fn(x)=(a[n])x+(b[n])と置く。（a[n]とb[n]は数列です。）
すると、a[1]=1,b[1]=1である。

与式より、
x^2{(a[n+1])x+(b[n+1])}=x^3-x^2+∫(0→x)t{(a[n])t+(b[n])}dtである。
右辺の積分を計算すると、
右辺＝{(1/3)a[n]+1}x^3+{(1/2)b[n]-1}x^2
となるから、両辺のx^3、x^2の係数を比較して、
a[n+1]=(1/3)a[n]+1　…(1)
b[n+1]=(1/2)b[n]-1　…(2)

(1)より、
a[n+1]-(3/2)=(1/3){a[n]-(3/2)}
これは、数列a[n]-(3/2)が、公比1/3の等比数列であることを意味しているから、
a[n]-(3/2)={a[1]-(3/2)}×(1/3)^(n-1)
よって、
a[n]=(3/2)-(1/2)(1/3)^(n-1)

(2)より、
b[n+1]+2=(1/2){b[n]+2}
これは、数列b[n]+2が、公比1/2の等比数列であることを意味しているから、
b[n]+2={b[1]+2}×(1/2)^(n-1)
よって、
b[n]=(3/2)-(1/2)(1/3)^(n-1)

以上より、
fn(x)={(3/2)-(1/2)(1/3)^(n-1)}x + (3/2)-(1/2)(1/3)^(n-1)

注：(1)、(2)からa[n]、b[n]を求めるところで、3/2とか2の発見の仕方は参考書等を読んでください。

回答No.2

eyenes

答えの式をax＋bとすると　a＝3^n-1/2・3^(n-1）b＝3-2^n/2^(n-1) かな～？　

あってるかどうか知んないよ！

もしあってたら、やり方教えてあげます。

受験勉強から離れて４ヶ月もたつもんでね・・・。

これでも一生懸命考えました（笑

補足

ちなみに答えは
３／２｛１－（１／３）＾ｎ｝ｘ＋２｛１－（１／２）＾ｎ｝
です。

回答No.1

noname#24477

順番にやってみたらどうですか。

（１＋1/3+1/3^2＋・・・＋1/3^(n-1))ｘ＋（１＋1/(-2)＋・・・＋1/(-2)^(n-1))
になりそうな
厳密には数学的帰納法