数学III 数列

質問

数学III
f(x)=2x+3/x+2 で、{xn}は、x(1)=1 、 x(n+1)=5x(n)-12/4x(n)-9 (n=1,2,3・・・)で定まる数列とする。
（１）関数y=f(x)の逆関数y=g(x)を求めよ。
（２）y(n)=g[x(n)]とおくとき、数列{y(n)} の一般校を求めよ。

（１）は
g(x)=3-2x/x-2
です。
（２）なんですが、問題の流れ的に（１）を使うのかと考え
p(n)=3-2x(n)/x(n)-2
とおいてやって、変形してみたら運よくその形が出てきたので、置き換えがうまくいって解けました。
しかし、適当にやってみたらできたというだけなので納得できません。

極限の分野で、例えば、a(n+1)=3-2a(n)/a(n)-2 から、ば数列{an}を求めよ。
という問題のときは、「b(n)=～とおく」というヒントが書いてありました。
なので、そのようにして解けていたのですが、この問題の場合、なぜ（１）が置き換えに利用できるのかが分かりません。

そのあたりのことについて説明お願いします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

x(n+1)=5x(n)-12/4x(n)-9

から直接

x(n)=[3-2(1/3)^(n-1)]/[2-(1/3)^(n-1)]

を導けば勝負あったと思うのですが

逆関数とかややこしい策を弄して解けといわれるとうんざりします。

ともあれ、問題は解けなければならない。

言うとおりにしてみましょう。

y(n+1)=g(x(n+1))に x(n+1)=5x(n)-12/4x(n)-9を代入して

y(n+1)=(1/3)[3-2x(n)]/[x(n)-2]=y(n)/3

は導けますか。

よって

y(n)=y(1)(1/3)^(n-1)

y(1)=-1

y(n)=-(1/3)^(n-1)

QED

お礼

回答ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございました。

x(n+1)=5x(n)-12/4x(n)-9

から直接

x(n)=[3-2(1/3)^(n-1)]/[2-(1/3)^(n-1)]
とあるのですが、これはどうやって直接求めたのでしょうか？
X(n)について解いてもX8n+19がでてきますし・・・。
説明お願いします。

回答No.1

spring135

f(x)=2x+3/x+2

x(n+1)=5x(n)-12/4x(n)-9

g(x)=3-2x/x-2

p(n)=3-2x(n)/x(n)-2

a(n+1)=3-2a(n)/a(n)-2

ぶんしはどこまでですか、分母はどこまでですか

補足

すみません。
f(x)=(2x+3)/(x+2)

x(n+1)={5x(n)-12}/{4x(n)-9}

g(x)=(3-2x)/(x-2)

p(n)={3-2x(n)}/{x(n)-2}

a(n+1)={3-2a(n)}/{a(n)-2}

です。