サイクロイドの積分区間

質問

置換積分の時の積分区間の置き換えがわからないので質問します。
問題は、サイクロイドx=a(θ－sinθ),y=a(1-cosθ)(a>0)の１分枝とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
求める面積Sとすると、S=∫(0→2aπ)ydx=∫(0→2π)y(dx/dθ)*dθとなっているところが分かりません。xが0→2aπのとき、a(θ－sinθ)が0→2πaと変化。このとき、θ－sinθ=0,2πを解く必要があると思うのですが、解き方がわかりません。y=θとy=sinθの交点をグラフを描いて求めようとしたら交点が２つできてしまい。微分を使っても方程式の答えは求められませんでした。どなたかθ－sinθ=0のときθ=0。θ－sinθ=2πのときθ=２πの手計算による解き方を教えてくださいお願いします。

回答No.4

tmppassenger

というか、そもそも考え方が違う。

a(θ－sinθ)は狭義単調増加なのは既に書いた通り。その上で、「１分枝とx軸で囲まれた部分の面積」を求めるのだから、それは y= a(1-cosθ)が最初θ=0の時y=0となる事から出発して、再びy=0となるまでが積分範囲なのだから、1-cosθ=0, θ>0となる最小のθ、つまりθ=2πまでが積分範囲の上限となる。

お礼

訂正ありがとうございます。

回答No.3

上野 尚人（@uenotakato）

y = sinθ…①
y = θ…②
この２つの連立方程式をグラフで解くときは、横軸はθ軸、縦軸はｙ軸にします。
①はいわゆるサインカーブになりますが、
②は「原点を通る傾き1の直線」（ふだんのxy平面でいうところの y = x）
になります。これを描けば、交点が原点のみになる（θ - sinθ = 0 の解が θ = 0 のみになる）ことがわかりやすいかと思います。

同様に、θ - sinθ = 2π の解も
y = sinθ …①
y = θ - 2π…③
の交点で考えます。③は先ほどと同様に傾き1の直前です。

お礼

y=θやy=θ-２Πの傾きが１であることに注意して、グラフを描いてみます。アドバイスありがとうございます。

回答No.2

tmppassenger

> y=θとy=sinθの交点をグラフを描いて求めようとしたら交点が２つできてしまい

まず、これはそんなことはない。θ-y平面で、y=θとy=sinθの交点は一つしかない。

y=θ－sinθが、θに関して狭義単調増加であることを確認してください。（この事実は、微積分に関する問題を何問も解いていれば、記憶として残っておいていいレベルのもの）

そうすれば、θ－sinθ=0の解が θ=0しかないこと、θ－sinθ=2πの解がθ=2πしかない事は明らかです。

お礼

数式処理ソフトでグラフなどを書いて、考えてみようと思います。お返事ありがとうございます。

補足

良ければお返事ください。
f(θ)=θ－sinθが、θに関して狭義単調増加であること、によりf(θ)がθ=0で最小値、θ=2Πで最大値をとることはわかりました。このときf(θ)の最小値、最大値はxの範囲より0、２Πとなるので、θ－sinθ=0のときθ=0。θ－sinθ=2πのときθ=２πになるであっていますか？

回答No.1

gamma1854

x=a(φ - sinφ), y=a(1 - cosφ), (a>0) とします。このとき、
S = ∫[0~2pi*a] ydx.
です。ここで、x=a(φ - sinφ) なる置換を行えば、
S = ∫[0~2pi] y*(dx/dφ)dφ
= ∫[0~2pi] a^2*(1 - cosφ)^2dφ
= 4a^2*∫[0~2pi] {sin(φ/2)}^4dφ
(φ/2 = u とおき)
S = 4a^2*∫[0~pi] {sin(u)}^4*2du
= 4a^2*2*(2*3/4)(1/2)(pi/2)=3pi*a^2.

お礼

具体的な計算を教えてくださり、ありがとうございます。