数３。考えましたがわかりません。詳しいヒントを下さい。

質問

こんにちは。
考えましたがまったくわかりません。詳しいヒントを下さい。
曲線y=f(x)があって、f(x)=log[3]xという式だそうです。それで、logxは底eを省略した自然対数なのだそうです。。。。
それでですね、この曲線上の点(e^15,f(e^15))における接線のｙ切片を求めたいのですけれども。。。。。
自分でやってみたのを、以下に載せたいと思います。
f'(x)=1/(xlog3)
よって、接線の方程式は、
y-f(e^15)=f'(e^15)(x-e^15)
です。ここまでは、自分で何とかできたのですが、このあと、どうしてよいのかわかりません。ｙ切片を求めよと言っていますが、どうすればよいのでしょうか。
ｘ＝０を代入しても、きれいな数字にならないのです。
あと、この曲線と２直線ｘ＝３、ｙ＝０とで囲まれた部分の面積を求めたいのですが、曲線の方程式がわかりません。曲線の方程式がわかれば、この２直線ｘ＝３、ｙ＝０とで囲まれた部分の面積は、積分でできるかもしれませんが、これがあっていないとできないので、曲線の方程式の求め方と、曲線の式をヒントとして教えていただけませんか。そうすれば、面積を求めるのは自分でやりますので…。
それとですが、この曲線と３直線ｘ＝０、ｙ＝０、ｙ＝２とで囲まれた部分をｙ軸の周りに１回転させてできる回転体の体積を求めたいのですが、これのやり方のヒントを教えていただけないでしょうか。
もちろん、自分では長考したということを付け加えておきます。
（利用規約に違反しないように文章を書いたので、まとまりが無いですがご容赦ください。一般の人から先日、問題を書き込むだけはダメだと注意を受けたためです。この質問なら大丈夫ですか？）

回答No.8

debut · ベストアンサー

書き足りなかったけど、ａ^x の積分は公式と考えてもいいし、ａ^x＝ｔ
と置いて、置換積分でもできるので、そちらも試すといいでしょう。

　ａ^x＝ｔ　→対数をとってｘlog ａ＝log ｔ→dxlog ａ＝dt/t→・・・

お礼

教えていただきまして、どうもありがとうございました。
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どうもありがとうございました。

回答No.7

debut

＞Π∫[0～2](3^y)^2 dy
＞=Π∫[0~2]9^y dy
＞ここまで合っていますか？
　　合ってます。

＞a^xの積分はどうやるのでしたっけ…
　　不定積分は　∫ａ^xdx＝ａ^x/log ａ＋Ｃ　Ｃ：定数　です。

お礼

教えていただきまして、どうもありがとうございました。
おかげさまで、解決しました。
どうもありがとうございました。

回答No.6

oyaoya65

途中で入り込んで失礼します。
すでに気がついて見えるかと思いますが念のため。。。

面積の積分区間は
A#3さんの
＞積分範囲を１から３までにして、logx/log3を被積分関数として積分
が正しく
A#4さんの
＞積分区間は[0,3]ですよね／図を書いてみるとよく分かります／
の方は勇み足のうっかりミスですね。

積分範囲は１から３までですね。

お礼

教えていただきまして、どうもありがとうございました。
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どうもありがとうございました。

回答No.5

debut

Ｎｏ３です。
　体積のことで、少し補いますが、Ｎｏ４さんのおっしゃるようにｘ＝３^y
　で、断面積は半径が３^yの円になります。このとき、面積π(３^y)^2を
　積分するとき、∫ａ^x dx 型の積分がありますが、教科書とかに公式
　が載っているかと思います。　余計なお世話かもしれませんが・・・

お礼

教えていただきまして、どうもありがとうございました。
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どうもありがとうございました。

補足

a^xの積分は
1/(xloga)
でしたっけ？

回答No.4

yokihito005

f(e^15)，f'(e^15)はそれぞれ解けますよね？

log[a]b=logb/logaであることを利用すれば，ｙ切片は意外ときれいなかたちになりますよ（14/log3かな）

曲線？，接線？

曲線y=log[3]xと，ｘ＝３、ｙ＝０で囲まれた面積なら，f(x)を積分することで求まるでしょう？　積分区間は[0,3]ですよね／図を書いてみるとよく分かります／

ｙ軸回りの回転体は，やはり図を書いてみると下すぼまりの漏斗のような形をしています／ｙ軸に直交する面で切った断面が円形（回転体だからね）になりますから，この円の面積をyの関数として示す式S(y)を作り，S(y)をyの区間[0,2]で積分することで体積が得られます／

S(y)の円の半径はy=f(x)の逆関数になることが理解できれば，逆関数x=g(y)が，g(y)=3^yと求まりますよね／

S(y)=π(g(y))^2

です。。

お礼

教えていただきまして、どうもありがとうございました。
おかげさまで、解決しました。
どうもありがとうございました。

回答No.3

debut

もとの式、f(x)=log[3]xは、底が３と言う意味なんですよね？だから、
f(x)=logx/log3ですよね。

考え方はその通りです。
y-f(e^15)=f'(e^15)(x-e^15)の式で、f(e^15)=15/log3、f'(e^15)=1/(e^15log3)
を代入すると　y-15/log3=1/(e^15log3)(x-e^15)　からx=0とおいて計算する
と、yの値は14/log3とでませんか。

＞曲線の方程式がわかりません
　　曲線ははじめのf(x)の式では？　f(x)=logx/log3
　　f(x)のグラフは対数関数のグラフだからｘ軸との交点は logx/log3=0
　　からｘ＝１。
　　すると、問題の部分は、積分範囲を１から３までにして、logx/log3
　　を被積分関数として積分すればよいことになります。

＞体積を求めたいのですが
　　y=logx/log3をｘについて解き、そのｘを半径とする円の面積を求め
　　て、０から２まで積分すれば求まります。
　　　※y=logx/log3　→　ylog3=logx　→　log3^y=logx　→　ｘ＝・・
　　　　です。

お礼

教えていただきまして、どうもありがとうございました。
おかげさまで、解決しました。
どうもありがとうございました。

補足

最後の問題ですが、
Π∫[0～2](3^y)^2 dy
=Π∫[0~2]9^y dy
ここまで合っていますか？
このあと、どうやるのかわかりません。
a^xの積分はどうやるのでしたっけ…

回答No.2

age_momo

>先日、問題を書き込むだけはダメだと注意を受けたためです。この質問なら大丈夫ですか？

大丈夫ですよ。というか、ここまで分かっているのなら後少しです。
まず基本的なアドバイスですが、
曲線y=f(x)があって、f(x)=log[3]x
ということは曲線の方程式は
y=log[3]x=logx/log3
です。
後、log(e^15)=15 です。
f(e^15)=log(e^15)/log3=15/log3
y-f(e^15)=f'(e^15)(x-e^15)にx=0を代入したら
y-15/log3=1/(e^15*log3)(-e^15)=-1/log3
y=14/log3
次の2題は積分ですがそこは理解してますか？曲線は上に書いたとおり
y=logx/log3
です。

お礼

教えていただきまして、どうもありがとうございました。
おかげさまで、解決しました。
どうもありがとうございました。

回答No.1

bahoo

ちょっとわかりずらいのですが、
f(x)=log[3]x

というのは、log3とxの積ですか？それともlog3xなのですか？

前者だとf'(x)＝log3ですし、後者だとf'(x)=1/xなはずですが。。。
どっちにしてもf'(x)が違ってしまっているとおもうのですが。

お礼

教えていただきまして、どうもありがとうございました。
おかげさまで、解決しました。
どうもありがとうございました。

補足

ありがとうございます。

後者です。ていを３とする対数です。
すみませんでした。