子どもからの質問です

質問

受験生を持つ親です。以前もこちらでヒントをいただき助かりました。

y=ax^2+bx+c のグラフが点(－２、０）、(１、０)を通り、y=2x^2-5x+3 に接するとき、定数a,b,c を求めよ。

X軸との交点がわかっているので、y=a(x-α)(x-β) に代入して、y=a(x+2)(x-1)になるかと思われます。ここからy=2x^2-5x+3　とどう関連させるのかがわかりません。連立させてみても方程式になるようにも思われません・・・。y=2x^2-5x+3に接するということはaは負なのかな・・・と漠然と思います。

ニューアクションαという参考書を調べてみましたが、似たような問題は見つけられませんでした。どなたかヒントだけでもよろしくお願い申し上げます。

回答No.2

tatsumi01 · ベストアンサー

y=a(x+2)(x-1) で合っています。この放物線と y=2x^2-5x+3 の交点を求めます。方程式の立て方はわかりますね。
交わり方は
(1)２点で交わる、(2)１点で交わる＝接する、(3)交わらない
の３通りで、これは a(x+2)(x-1)=2x^2-5x+3 の解が、異なる実根、重根、虚根である場合に相当します。
したがって、上の方程式が重根を持つ条件を求めればよいのです。
ヒント：判別式

お礼

a(x+2)(x-1)=2x^2-5x+3
を計算してみると、
(2-a)x^2-(5+a)x+(3-2a)=0
になり
判別式は
7a^2-38a-1=0
となり答えは
2±８√２３
というわけのわからない結果になってしまいました(T_T)。
私の能力では理解できませんでしたが、ありがとうございました。

回答No.5

ssagara

点(x,y)=(-2,0),(1,0)を代入して方程式を作ります。
　そうするとa,b,cの比が分かるので、どれかの代数（例えばa）のみで方程式をつくりかえます。
　それとy=2x^2-5x+3との連立方程式を考えると、2曲線は接していることから解が1つになるはずなので
　その条件を用いて、（xを除いた）代数のみの新しい方程式を作ります。

　それを解くと、その代数の値がわかるので
　最初の比に戻り代入すると残りの代数の値もわかります。

解がひとつになるような条件は
皆様がおっしゃっているように判別式Dを用いる方法や
(x+t)^2になるように式変形を試みる方法がありますが、することは同じです。

お礼

残念ながら私の理解力では「比」がどのように関連するのか理解できませんでした(T_T)。もう少し考えてみます。ご丁寧にありがとうございました。

回答No.4

debut

ｙ＝ａ(ｘ＋２)(ｘ－１)＝ａｘ^2＋ａｘ－２ａとｙ＝２ｘ^2－５ｘ＋３
からｙを消去して、ａｘ^2＋ａｘ－２ａ＝２ｘ^2－５ｘ＋３としてその
２次方程式の判別式＝ｂ^2－４ａｃ＝０とすればいいです。

「接する＝２次方程式の解が１つ＝重解をもつ」ということです。

お礼

論理の進め方はよくわかりましたが、残念なことにその計算ができません・・・。ご丁寧にありがとうございました。

回答No.3

g_destiny

こういう問題は素直に代入してみる
4ａ－2ｂ＋ｃ＝0　と　ａ＋ｂ+ｃ＝0

もう１個の２次関数と接する　ということは
１個の座標を共有するってことですから

ax^2+bx+c＝2x^2-5x+3

を整理した２次方程式の　解が１つってことじゃないですか？

お礼

残念ながらその計算ができません。ありがとうございました。

回答No.1

yokihito005

２曲線が接するというのは，
１．座標点を共有し，
２．その点での接線が一致する，
と考えればよいと思います。

お礼

おっしゃるとおりですが、実際に計算してみるととんでもない数字になりました。もう一度やり直します。ありがとうございました。