直線の問題

質問

Oを原点とする座標平面において、方程式x^2+y^2=4で表される円をCとする。点A(6,0)を通り、円Cに接する傾きが負の直線をlとし、その接点をPとする。
(1)直線lの方程式とPの座標を求めよ。
(2)x軸の正の部分に中心O1をもち、lに接し、かつCに外接する円をC1とする。また、線分PO1とC1の交点をBとする。C1の方程式とBの座標を求めよ。
(3)三角形OO1Bの外接円は原点を通る円である。その方程式を求めよ。

(1)は、接線の方程式を使うと答えと合いません。どうすればいいんですか？公式とかありますか？
また(2)(3)も、いまいち理解できないのですが、図を描いてみるべきでしょうか？
どのような方法が簡単に求められるのか教えて下さい。解き方のヒントをお願いします。

回答No.4

nettiw · ベストアンサー

(1)
C: (x^2)+(y^2)=(2^2)

接線の式では、
　　　　　(a^2)+(b^2)=(2^2)
　　　　　ax+by=4, 6a=4
　　　　　a=(2/3), b=(4√2/3)、

　　P ( (2/3), (4√2/3) )

　　　　　m=(-√2/4)
　　　　　y=(-√2/4)(x-6)
　　　　　4y=-√2x+6√2
　　　　　√2x+4y-6√2=0

　　直線L: x+2√2y-6=0

判別式ならば、
　　y=m(x-6)
　　　　(x^2)+(m^2){(x^2)-12x+36}=4
　　{(m^2)+1}(x^2)-12(m^2)x+{36(m^2)-4}=0
　　36(m^4)={(m^2)+1}{36(m^2)-4}
　　0=36(m^2)-4-4(m^2)
　　4=32(m^2)
　　　　　　　　　　m=-1/2√2=-√2/4

距離の公式では、
y=m(x-6)
　　mx-y-6m=0
　　|6m|/√{(m^2)+1}=2
　　36(m^2)=4{(m^2)+1}
　　32(m^2)=4
　　　　　　　　　m=(-1/2√2)
　　(-1/2√2)x-y-6(-1/2√2)=0
　　直線L:　x+2√2y-6=0

直角三角形の相似では、

　　　　　　　　　P(a,b)
　　　　　　　２　　　　　　４√２

　　　-----O(0,0)----------------------A(6,0)------

　　　　２：４√２：６＝(2/3)：(4√2/3)：２=a:b:2

(2)
O1 (p,0)
C1: {(x-p)^2}+{y^2}=(r^2)

　　　　　　　　　　　　P( (2/3), (4√2/3) )
　　　　　　　　　　／　＼
　　　　　　　　／　　　　　　＼
　　　　　　２　　　　　　　　　　　　＼
　　　　／　　　　　　　　　　　　ｒ　　　　＼
-------0------------2-------p------------------6-----------
　　　　　　　　　　　　　ｒ＝ｐ－２

ふたつの三角形の相似を使って、

　　　　　　r=p-2
　　　　　　6:2=3:1=(6-p):r
　　　　　　　　　3:1=(6-p):(p-2)
　　　　　　6-p=3p-6
　　　　　　12=4p
　　　　　　p=3, r=1

　　　C1: {(x-3)^2}+{y^2}=1

線分PO1の式は y=(-4√2/7)(x-3)
　　　{(x-3)^2}+(32/49){(x-3)^2}=1
　　　49{(x-3)^2}+32{(x-3)^2}=49
　　　　　　　　　　　81{(x-3)^2}=49
　　　x-3=-7/9, 7/9(不適)
　　　　　　x=3-(7/9)=(20/9)
　　　　　　y=(-4√2/7)(-7/9)=(4√2/9)

　　　B( (20/9), (4√2/9) )

(3)
>>三角形OO1Bの外接円は原点を通る円である。
(奇妙、原点を通るのは当然。hint?)

　　外接円の中心（外心）のｘ座標は、3/2
　　外心を( (3/2),q ),半径をＲと置くと,
　　{(x-(3/2))^2}+{(y-q)^2}=(R^2)

　　(0,0),(3,0)を代入して同じ式。
　　 (9/4)+(q^2)=(R^2)

　　B( (20/9), (4√2/9) )を代入して、
　　{((20/9)-(3/2))^2}+{((4√2/9)-q)^2}=(R^2)

(R^2)で結んで、

　　{((20/9)-(3/2))^2}+{((4√2/9)-q)^2}=(9/4)+(q^2)
　　{(20/9)^2}-2(20/9)(3/2)+{((4√2/9)^2}-2(4√2/9)q=0
　　(400/81)-(540/81)+(32/81)-(72√2/81)q=0
　　(-108)=(72√2)q
　　-12=(8√2)q
　　　-3=(2√2)q

　　　　　　q=-3/2√2=(-3√2/4)
　　　　　　(R^2)=(18/8)+(9/8)=(27/8)

　　{(x-(3/2))^2}+{(y-(-3√2/4))^2}=(27/8)

回答No.3

fuuraibou0

円Ｃの接線の傾き dy/dx は、与式を微分して、２ｘ＋２ｙ*dy/dx＝０　より、f'(ｘ)＝dy/dx＝－ｘ/ｙ＝－ｘ/√(４－ｘ^2)

なお、円Ｃ上の点Ｐ {ｔ，√(４－t^2)} を通る接線の方程式は、公式「ｘ＝ｔ における接線は、ｙ－f(ｔ)＝f'(ｔ)(１－ｔ) 」より

ｙ－√(４－t^2)＝{－ｔ/√(４－ｔ^2)}(ｘ－ｔ)　・・・（１）

これが、点(６，０）を通るから、

０－√(４－t^2)＝{－ｔ/√(４－t^2)}(６－ｔ)

∴　(４－t^2)＝ｔ(６－ｔ)　より、ｔ＝２/３　で、

Ｐ{２/３，４(√２)/３}，また，接線の方程式は，式（１）に ｔ＝２/３ を代入して、ｙ＝(６－ｘ)√２/４　になると思いますが、答えと合っていますか？

回答No.2

info22

自分の解答を補足に書いて分からない部分だけ質問ください。
ヒントとして結果だけ書きますので
解答を作って下さい。
分からない部分はそこまでの解答を補足に書いて質問ください。
(1)
直線l：x+2(√2)y=6
P(2/3,(4√2)/3)

(2)
C1：(x-3)^2 +y^2 =1
B(20/9,(4√2)/9)

(3)
(x-(3/2))^2 +(y+1)^2=13/4

回答No.1

koko_u_

>(1)は、接線の方程式を使うと答えと合いません。どうすればいいんですか？
kurum さんの解答を示さなければ、誰も合ってるかどうかわかりません。
どうすれば良いかもアドバイスできません。

>どのような方法が簡単に求められるのか教えて下さい
ただの計算問題だから。