数学の問題の解答を教えてください。

質問

放物線 y=x²上の2つの点A(α,α²)、B(－α,α²) における接線の方程式をそれぞれl，mとする。ただし、α＞0とする。
　　(1)点Aにおける接線lの方程式を求めよ。
　　(2)2つの接線l、mの交点Pの座標を求めよ。
　　(3)α＝1のとき、放物線と直線ABで囲まれる部分の面積Sを求めよ。
　　(4)放物線と２つの接線で囲まれる部分の面積が18となるときのαの値を求めよ。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

(1)点Aにおける接線lの方程式を求めよ。
＞y'=2xだからlは(y-α^2)/(x-α)=2α
書き直せばy=2αx-α^2・・・答
　　(2)2つの接線l、mの交点Pの座標を求めよ。
＞l、mはy軸を対称軸としているので、l、mの交点は
y軸上にある。よってy=2αx-α^2とy軸との交点が
点Pとなるので、P(0,-α^2)・・・答
　　(3)α＝1のとき、放物線と直線ABで囲まれる部分の面積Sを求めよ。
＞S=2∫(0→1)(1-x^2)dx=2∫(0→1)1dx-2∫(0→1)x^2dx
=2[x](0→1)-2[(1/3)x^3](0→1)=2-2/3=4/3・・・答
　　(4)放物線と２つの接線で囲まれる部分の面積が18となるときのαの値を求めよ。
＞放物線と２つの接線で囲まれる部分の面積
=2∫(0→α){x^2-(2αx-α^2)}dx
=2[(1/3)x^3-αx^2+α^2x](0→α)=(2/3)α^3
これが18だから(2/3)α^3=18を解いてα=3・・・答