線形代数 ランクと正則について

質問

線形代数の問題です

a、bはそれぞれｎ次縦ベクトル（ｎは２以上）

(1)n×ｎ行列「ab*」はランクが１を示せ
（*は転置を表す）

(2)n×ｎ行列「I－ab*」が正則となる必要十分条件は
　「(a*)b＝１」とならないことを示せ。
（Iはｎ×ｎ単位行列）

という問題です。

(1)は出来たのですが
それをどう使って(2)を解いていいのか解りません；；

お願いします☆

回答No.3

kts2371148 · ベストアンサー

よく考えるのはいいことですね。
この問題の場合、帰納法にはあまりしないほうがいいかもしれません。

３次の場合、
| I - ab* | =
| 1-a1b1 -a1b2 -a1b3 |
| -a2b1 1-a2b2 -a2b3 |
| -a3b1 -a3b2 1-a3b3 |
ですが、＃２の式を使って 1 とそれ以外に分けていくと、
８個の行列式の和になります。
しかし、そのうち４個は０になるはずです。

同じように、４次の場合、2^4=16個の行列式の和になりますが、
そのうち５個を除いて、０になります。
n 次の場合、2^n 個の行列式の和になりますが、
そのうち n+1 個を除いて、０になります。

補足

やっとわかりました＞＜
ありがとうございます親切に；；

でも思ったのですが
結構書くとなると、考察も含めて複雑というか長そうというか・・・
これって何かの決まったとき方なのでしょうか？

２のｎ乗通りで分けていくというのは
一瞬思いはついたのですが、（まさかな・・）と思って
ペンを止めてすぐ他のとき方を考えてました。。汗

もし決まったとき方でないのなら
どうやってkts2371148さんはこれを見抜いたんですか？
もしよかったら教えてください★

回答No.4

kts2371148

私は＃２の方法を真っ先に考えました。
以前に似た問題を解いたことがあったせいもあるでしょう。
＃２の方法は、頻出するわけではないかもしれませんが、
頭の片隅にでもとどめておけば、使う機会があると思います。

今回のように、たとえ解けないとしてもいろいろやってみると、
その積み重ねで、「この問題はあのときの問題にどこか似たところがある」と思い当たることができるようになります。
どの分野でもそうかもしれませんが、
数学でも、経験がものをいうことがあります。

お礼

ありがとうございます！

今日はもう一個の解きかたを知ることが出来ました！
ai≠0をみたす行iについて（ｋをi以外の残りの数とすると）
その行を（-ak/ai）倍してｋ行に足しこんでいくと
i行とi列以外は綺麗になって、そのあと
他のｋ行から全てak倍して足しこまれれば・・・

とやると結構うまく行きました！

経験が僕も一番大事だと思います。
発想は経験からですよねきっと！

今回のやり方きっと忘れません！ありがとうございました！

回答No.2

kts2371148

ではもう一つヒントを。

|a11+b11 a12+b12 a13+b13|　 |a11 a12 a13|　　|b11 b12 b13|
|　　a21　　　a22　　　a23　　| = |a21 a22 a23| + |a21 a22 a23|
|　　a31　　　a32　　　a33　　|　 |a31 a32 a33|　　|a31 a32 a33|
（もちろん n 次正方行列でも成り立つ）

それから、ある行を定数倍すると別の行に等しくなるなら、
行列式は０になります。

補足

すいません。。。

あれからずっと考えてるのですが閃きません・・

帰納法で、もらったヒント使ってやろうとしてるのですが・・
うまくいきません。。。

もう一個だけヒントください。。お願いします（涙）

回答No.1

koko_u_

どう見ても det(I - ab*) = 1 - (a*)b を示せということだよね。

補足

質問者です★

確かにそれは見えるのですがどうも上手くいきません。

二次の例で見てみると

det(I-ab*) = det(ab*) -(a*)b + 1

が分かるので、帰納法？とも考えたのですが・・・
なんか上手い方法が見つからない状況です。。