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線形代数の問題?
- 線形代数の問題について、行列を使って未知数が満たす条件を調べたいです。
- 未知数が満たす条件を行列で表すと、解が何個あるのか知りたいです。
- 解の個数を調べる方法について教えてください。
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>で、TYPE-A、TYPE-Bの組み合わせはなぜ、上記のような計算になるのでしょうか・・・。 TYPE-Aは、 1行目の2つの1の位置は4C2通り。(その1を、列を交換して1列目と2列目に移動させる) 2列目の1の位置は1行目のほかに、2~4行目の3通り。(その1を、行を交換して2行目に移動させる) 2行目の1の位置は2列目のほかに、3~4列目の2通り。(その1を、列を交換して3列目に移動させる) 3列目の1の位置は2行目のほかに、3~4行目の2通り。(その1を、行を交換して3行目に移動させる) 残りの1の位置は一意に決まる。 以上を掛け合わせると、 4C2*3*2*2=4!*3!/2 TYPE-Bは、 行・列とも(2,2)に分かれているので、その組み合わせは、4C2*4C2 (2,2)は2つの2を交換しても同じなので、2で割って、 4C2*4C2/2 一般化して、 nをグループ分け(グループ数は任意、グループ内の数は2以上)したときの、それぞれの組み合わせの数をS()で表すとすると、 S(2)=1 S(3)=6 S(4)=72、S(2,2)=18 S(5)=1440、S(3,2)=600 S(6)=43200、S(4,2)=16200、S(3,3)=7200、S(2,2,2)=1350 一般形は、 nをグループ分けしたとき、n1がm1個、n2がm2個、・・・・、nkがmk個に分かれたとすれば、 (n=n1*m1+n2*m2+・・・・+nk*mk 、 n1>n2>・・・・>nk≧2) S(n)=n!*(n-1)!/2 S(n1,・・・,n1, n2,・・・,n2, ・・・・, nk,・・・,nk) =(n!/Π(ni!)^mi)^2 * Π(S(ni)^mi/mi!) (Πは1~kの相乗積) S(6)=6!*5!/2=43200 S(4,2)=(6!/(4!*2!))^2 * S(4)*S(2)=(720/48)^2 * 72=16200 S(3,3)=(6!/((3!)^2)^2 * S(3)^2/2!=(720/36)^2 * 6^2/2=7200 S(2,2,2)=(6!/((2!)^3)^2 * S(2)^3/3!=(720/8)^2 * 1^3/6=1350
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- nag0720
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>各タイプはどのように整理したのでしょうか? n=6の場合を見ていただければ分かると思いますが、1がある箇所を縦横でつないでいけば、 TYPE-Aは1つのグループに、TYPE-B、TYPE-Cは2つのグループに、TYPE-Dは3つのグループに分かれています。 それをグループ数とグループ内の列数で表現すれば、 TYPE-Aは、(6) TYPE-Bは、(4,2) TYPE-Cは、(3,3) TYPE-Dは、(2,2,2) つまり、6のグループ分け(グループ数は任意、グループ内の数は2以上)の組み合わせとなっています。 例えば、n=9なら、 (9)、(7,2)、(6,3)、(5,4)、(5,2,2)、(4,3,2)、(3,3,3)、(3,2,2,2)の8通り、 n=10なら、 (10)、(8,2)、(7,3)、(6,4)、(6,2,2)、(5,5)、(5,3,2)、(4,4,2)、(4,3,3)、(4,2,2,2)、(3,3,2,2)、(2,2,2,2,2) の12通りとなります。 計算式でこの数を出すのは難しいですが、具体的なnが決まっているのなら、手作業で求めるのはそんなに大変ではないでしょう。
お礼
!!! 分かり易い解説ありがとうございます。場合分についてはよく分かりました。 あとひとつだけ、 >n=4の場合、縦および横を適当に入れ替えると、次の2つのタイプに分かれます。 >TYPE-A >1 1 0 0 >0 1 1 0 >0 0 1 1 >1 0 0 1 >TYPE-B >1 1 0 0 >1 1 0 0 >0 0 1 1 >0 0 1 1 >TYPE-Aの組み合わせ:4!*3!/2=72 >TYPE-Bの組み合わせ:4C2*4C2/2=18 >計90通り で、TYPE-A、TYPE-Bの組み合わせはなぜ、上記のような計算になるのでしょうか・・・。
- nag0720
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>縦計・横計が2の場合を考えたいのですが、考え方のヒントもおねがいできないでしょうか。 計が2の場合はちょっとやっかいです。 n=4の場合、縦および横を適当に入れ替えると、次の2つのタイプに分かれます。 TYPE-A 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 TYPE-B 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 TYPE-Aの組み合わせ:4!*3!/2=72 TYPE-Bの組み合わせ:4C2*4C2/2=18 計90通り n=5の場合も2つのタイプに分かれます。 TYPE-A 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 TYPE-B 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 TYPE-Aの組み合わせ:5!*4!/2=1440 TYPE-Bの組み合わせ:5C3*5C3*6=600 計2040通り n=5の場合は4つのタイプに分かれます。 TYPE-A 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 TYPE-B 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 TYPE-C 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 TYPE-D 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 TYPE-Aの組み合わせ:6!*5!/2=43200 TYPE-Bの組み合わせ:6C4*6C4*72=16200 TYPE-Cの組み合わせ:6C3*6C3*6*6/2=7200 TYPE-Dの組み合わせ:6C2*6C2*4C2*4C2/6=1350 計67950通り というように、タイプ別に分けてそれぞれの組み合わせを計算すればなんとかなります。 この方法では、一般解までは無理ですね。 一般解を求めたいなら別の工夫をする必要があります。
お礼
書き込みありがとうございます。すごいですね!
補足
もう少しご教授お願いします。 各タイプはどのように整理したのでしょうか?(他にない、というのを示すのはなかなか難しいのではないでしょうか)
- nag0720
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a b c d e f g h i と並べると、縦計・横計がそれぞれ2になるということですね。 a~iが0か1なら、0が縦・横にそれぞれ1個づつになる配置になりますが、これは6通りあります。 >16個、25個、36個・・・と一般化していったとき 縦計・横計がそれぞれ3,4、5になるなら、 配置の組み合わせは、24、120、720通りになります。 一般化すれば、 n^2個の0と1をn×nに並べたとき、縦計・横計がそれぞれn-1になる配置の組み合わせはn!通り >線形代数のランクとかに絡めて考えればいいのかも・・・、と思うのですが・・・。 a~iが0か1という条件があるのなら、あまり意味のないような気がします。 なお、 x=(a b c d e f g h i) c=(2 2 2 2 2 2 2 2 2) A(xの転置)=(cの転置) ではなく、 x=(a b c d e f g h i) c=(2 2 2 2 2 2) A(xの転置)=(cの転置) です。
お礼
書き込みありがとうございます。 >>16個、25個、36個・・・と一般化していったとき > >縦計・横計がそれぞれ3,4、5になるなら、 >配置の組み合わせは、24、120、720通りになります。 縦計・横計が2の場合を考えたいのですが、考え方のヒントもおねがいできないでしょうか。
- info22_
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未知数が9個、方程式が6個で係数行列Aが6行9列です。 式が3個不足していますので全ての未知数を求めることはできません。 Aが正方行列でないと一般的には解けないと思います。
- f272
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> 9個のときはこの方法でいいのですが、16個、25個、36個・・・と一般化していったとき、この方法では苦しそうです。 どういう一般化を念頭に置いているのかわからないが,もし a(1)+a(2)+a(3)+a(4)=3 a(5)+a(6)+a(7)+a(8)=3 a(9)+a(10)+a(11)+a(12)=3 a(13)+a(14)+a(15)+a(16)=3 a(1)+a(5)+a(9)+a(13)=3 a(2)+a(6)+a(10)+a(14)=3 a(3)+a(7)+a(11)+a(15)=3 a(4)+a(8)+a(12)+a(16)=3 という方向であれば,9個のときから容易に類推できるだろう。
- f272
- ベストアンサー率46% (8467/18126)
この程度の問題なら、 1) a=b=1,c=0のとき d=e=1,f=0なら解なし d=f=1,e=0ならh=i=1,g=0 e=f=1,d=0ならg=i=1,h=0 というように順に調べるのが早いだろう。
お礼
!書き込みありがとうございます。 9個のときはこの方法でいいのですが、16個、25個、36個・・・と一般化していったとき、この方法では苦しそうです。 線形代数のランクとかに絡めて考えればいいのかも・・・、と思うのですが・・・。
- Tacosan
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どっちかというと離散数学っぽいけど, 対称性から「a=0 の場合」の数を数えて 3倍すればよさそうな気がする.
お礼
かきこみありがとうございます。
お礼
!!!!! 解説どうもありがとうございます。 一般化までしていただいて、感激です。 ありがとうございました!