rankと正則について

質問

3次の正方行列A,Bが
rank(A)≦1
rank(B)≦1
を満たすならば、A+Bは正則でないことを示せ。

どうやれば示せるでしょうか??

rank(A)≦1
rank(B)≦1
から、A,Bは正則ではないことはわかりますが、そこからA+Bも正則でないということが示せません。

よろしくお願いします。

回答No.2

echoes_x86 · ベストアンサー

こんにちは．
すでにきちんとした解答が出ていますが…長々と書いてみます．

行列Aの1行目をベクタxで書きます．
このとき，rank(A)≦1ですから，
行列Aの2行目と3行目はある定数a_1，a_2によって，
それぞれa_1*x，とa_2*xと書くことができます．
同様にrank(B)≦1ですから，行列Bの1行目をベクタyで書くと，
行列Bの2行目と3行目はある定数b_1，b_2によって，
それぞれb_1*y，とb_2*yと書けます．

さて，行列 C=A+B について考えます．
Cは以下の行列です．
[x + y]
[a_1*x + b_1*y]
[a_2*x + b_2*y]
ここで，a_1≠b_1とします．
a_1=b_1なら2行目は1行目に従属しますから，Cは正則ではありません．
いま，1行目のz倍と2行目のw倍の和が3行目に等しいとして，
以下の式を立てます．
z*(x + y) + w*(a_1*x + b_1*y) = a_2*x + b_2*y
zとwは現段階では未知ですから，変数として整理して，
係数を比較すると以下の線型方程式を得ます．
z + a_1*w = a_2
z + b_1*w = b_2
a_1≠b_1のもとでこの関係を満たすzとwの対は常に一意に決まりますから，
3行目は1行目と2行目に従属します(=Cは正則でない)．

なお，上記の議論は x = t*y なるスカラーが存在しない場合についてです．
このようなtが存在する場合は議論の余地無くCは正則ではありません．
この場合についてはご自身で考えてみてください．

回答No.1

Tacosan

kern A ∩ kern B が空集合にならないことを示せば十分.