線形代数の質問です

質問

線形代数の証明問題がわかりません。

AとBを３×３の実対象行列とする。
直行行列ＰによりAが対角化されるとする。
このときBがPに対角化されるための必要十分条件はAB＝BAであることを示せ。

というものです。よろしくお願いします。

回答No.2

reiman

命題：
「AとBを３×３の実対象行列とする。
直行行列PによりAが対角化されるとする。
このときBがPに対角化されるための必要十分条件はAB＝BAである。」

は偽だが

命題：
「AとBを３×３の実対象行列とする。
このときAとBを同時に対角化する直交行列Pが存在するための
必要充分条件はAB＝BAである。」

は真である。

回答No.1

reiman

A,Bが実対称行列
かつ
Aが直交行列Pによって対角化される
かつ
AB=BA
だからといって
Bが直交行列Pによって対角化されるとは限らない

P:
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
A:
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
B:
[1 0 1]
[0 1 0]
[1 0 1]