線形代数の階数

質問

複素数Cを成分に持つ(l,m)型行列Aおよび(m,n)型行列Bを考える(l,m,n∈N)
f:C^m→C^l,g:C^n→C^mをそれぞれA,Bから定まる線形写像とする。
(1)rank(AB)=rank(A)となる必要十分条件はKer(f)+Im(g)=C^mであることを示せ
(2)rank(AB)=rank(B)となる必要十分条件はKer(f)⋂Im(g)={0}であることを示せ

(1)の方はなんとなくイメージできるのですが、数式で厳密に示すことができません。
(2)に関しては方針すら立たない状態です。
よろしくお願いします。

回答No.1

26803TT519 · ベストアンサー

(1)
rank(AB) = rank(A) → Ker f + Im g = C^m のみ証明します。
Ker f + Im g = C^m → rank(AB) = rank(A) は自分で証明してください。

一般には Im fg ⊂ Im f であるが
rank(AB) = rank(A) ならば
dim(Im fg) = dim(Im f) であるから
Im fg = Im f が成り立つ。
よって、C^m の任意の元 x に対して C^n の元 y で
f(x) = fg(y)
を満たすものが存在する。
z = x - g(y) とおくと
f(z) = f(x) - fg(y) = 0
つまり z ∈ Ker f であるから
x = z + g(y) ∈ Ker f + Im g
すなわち C^m ⊂ Ker f + Im g

(2)
Im g から C^l への線型写像 h を
h(x) = f(x) で定義します。
線型写像の次元定理より
dim(Im h) = dim(Im g) - dim(Ker h) = dim(Im g) - dim(Ker f ∩ Im g)

よって
rank(AB) = rank(B)
↓↑
dim(Im fg) = dim(Im g)
↓↑
dim(Im h) = dim(Im g)
↓↑
dim(Ker f ∩ Im g) = 0
↓↑
Ker f ∩ Im g = { 0 }

お礼

(1)の逆も証明することができました。
ご丁寧にありがとうございます。