線形代数の問題

質問

問題。あるn次正方行列A,Bについて、I-ABが正則であるとします。
(1)以下を証明せよ。I-BAは正則であり、逆行列は以下のようにあらわせる。
　　　(I-BA)^(-1) = I + B((I - AB)^(-1))A
(2)ABとBAが同じ固有値の組を持つことを証明せよ。
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(1)は逆行列の定義に従って簡単に解けたのですが、(2)がなかなか証明できません。AB=Q(BA)Q^(-1)を満たすようなQを(1)の条件を使って探し、ABとBAが相似であることを証明すればいいと思ったのですが、そのような行列Qがなかなか見つかりません。

どのような情報でも感謝します。できれば直接的な解法ではなく、ヒントのようなものをいただけるとうれしいです。

回答No.3

ringohatimitu · ベストアンサー

以下λ≠0としておきます。
このときλ-ABが正則なλに対してはλ-BAも正則であることが分かりましたよね。同じようにλ-BAが正則ならばλ-ABも正則。
これは結局{λ≠0|λ-ABが正則}={λ≠0|λ-BAが正則}を示しています。後は{ABの固有値}=C＼{λ|λ-ABが正則}(補集合)に注意すればすぐ示せると思います。

お礼

なるほど、納得です！
答えはすぐそこにあったのに、ものすごい無駄な回り道をしていたようです。
本当に丁寧にありがとうございました。

回答No.2

ringohatimitu

λ≠0に対してλ-ABが正則というのはどのように得られましたか？もしそれが正しいならばABの固有値は0だけであり（行列の固有値は必ず存在します）ABは非正則となりますから自動的にBAも非正則です。場合分けの必要はないです。det(AB)=det(BA)なので「ABが正則（非正則）⇔BAが正則（非正則）」です。

お礼

勝手にλI-ABが正則だと思い込んで、間違ったことをしていました（汗）。ちょっと混乱しています。

僕が考えたのは、λI-ABが正則だと、λ≠0であるかぎりλI-BAも正則である（逆行列は (1/λ)(I+B(λI-AB)^(-1)A)。）つまり、λ≠0 だと AB, BAの固有多項式であるdet(λI-AB), det(λI-BA)が非ゼロになってしまうので、λは0しかないということでした。でもλI-ABが正則だとは限りませんよね。

回答No.1

ringohatimitu

せっかくなので（１）を利用しましょう。
（１）では単にI-ABを考えていますが少し拡張して複素数λに対してλ-ABが正則のときλ-BAが正則かどうかを考えると上手くいくと思いますよ。(λ-AB)^{-1}を使って（１）と同様に(λ-BA)^{-1}を求めてみてください。

お礼

お返事おくれて申し訳ありません。

ちょっと考えてみたのですが、λI-ABはλがゼロでない限り正則で、つまりdet(λI-AB)≠0。よってλ=0のみが考えうる固有値。同じことがλI-BAにも言えるので、題意は証明される。（ABが正則、非正則の二通りに分けて細かい詰めが必要）

なんだか大きな考え違いをしているようで不安なのですが、論理に欠損は見られないでしょうか。ご回答とても感謝しています。