線形代数 行列

質問

１、N次正方行列Aが正則であるための必要十分条件は、rankA=nであることを示せ。

２、線形空間Vの基底が＜a1,a2,・・・・・,an＞であるとする。このとき、ｎ個の複素数ｂ１、ｂ２、・・・ｂｎに対して、b1a1,b2a2,・・・,bnan>もまたVの基底であることを示せ。

この二問なのですが参考書をよくみてもどう示せばいいかよくわかりません。行列で書きにくかったらやり方だけでも助かります。
片方でも教えていただけるとうれしいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

HIROWI02 · ベストアンサー

理系大学生です。

２は書くのが面倒なので１だけできるだけ簡単に示します。

＞＞１、N次正方行列Aが正則であるための必要十分条件は、rankA=nであることを示せ。

rankA=nの時、Ａの簡略化にはｎ個の行すべてに先頭１があり、またｎ個の列すべてに先頭の１がある。

そのような簡約なｎ次正方行列は単位行列Enしかありえない。

次に、ｎ次正方行列Ａの簡略化は単位行列Enであると仮定するとAX=Enを満たすＸが存在する。

このＸが

　　　　　XA=En

も満たせばＡは正則といれる。

また[A En]は[En X]に行列基本形でき、可逆性により、逆戻り[En X]=[A En]もできる。

ゆえにＸの簡略化はEnでXY=Enを満たすYが存在する。

このＹは

　　　　 Y=EnY=(AX)Y=A(XY)=AEn=A

を満たすから実はＡに等しく、したがってXA=XY=Enが成り立つ。

結果、Ａは正則行列であり成り立つ必要十分条件は”rankA=n”である。

※これは大学の知識なのでこんなに長くなってしまいました。

参考までにどうぞ＾＾

お礼

回答ありがとうございます！！
同じ理系大学生なのでわかりやすいのでとてもよかったです。
まじめにやってこんな問題もとけないのが恥ずかしいとno1さんの回答を見て思うところなのですが。。。

こんなふうに回答できる人になれるよう頑張りたいと思います！
ありがとうございました！！

回答No.3

Tacosan

2 は間違っているから, 「証明できない」のが正しい.

お礼

そうなのですか。証明できない問題もあるのですか。
参考になります。
回答ありがとうございました。

回答No.1

B-juggler

なんか情けない気がするなぁ～。ダイジョウブか？

元代数学の非常勤講師。

ちゃんと自分で調べ、考えること。投げちゃダメだよ？

１だけ少しね。

正則な行列って言うのはもちろん分かるね。

ｒａｎｋＡ　って何？　小文字のｎは何を表しているの？

ダイジョウブか？

ｒａｎｋＡ　は固有値の数だから、そんなに問題はないけど。
　＃それが分からないのが問題だけどね。

小文字のｎはなんだ？　説明のない文字が飛び込んできても、

解けるものも解けないよ？

Ｎ次正方行列の　Ｎ　のことなんだろうけれど。

ｎ＝２　としてみよう。

（０　１
　１　０）　
この行列の固有値はいくつ？（ランクはいくつ？）

それでこの行列は正則？

おなじく

（１　０
　１　０）
この行列はどう？
何が違う？

投げるような問題じゃないよ？　分からないのなら、小さいところから考えればいい。

分かろうとしないのが一番の恥だよ？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

回答ありがとうございます。
自分でも参考書をみてみたり６時間はかんがえました。
自分でもわかろうと努力してそれでもわからなかったのでここで質問をしたわけなのです。もっとそんな風に頭が柔らかくなりたいです。

ちなみにまだ固有値は習っていなく参考書などみて高校の範囲はわかりましたが大学ではまた違ったものにかんじるのでむずかしくて、悩んでいます。

でも頑張っていればいつかは理解できると思ってどりょくはしていきたいと思います。

いろいろなヒントありがとうございました！！