線形代数の問題で・・・

質問

線形代数の問題で解答がない証明問題でどうしてもわからない問題があるので教えてください。
問題内容は、

　(i,j)成分がaij = ｜i-j｜であるn次正方行列Aについて、
｜A｜= {(-1)^(n-1)}(n-1)2^(n-2)　となることを証明せよ。

です。
ちなみに問題は教養の線形代数という本にある問題です。
教えてください。
お願いします。

回答No.3

noname#130496 · ベストアンサー

#1お礼へ

#2のように三角行列に持って行けば対角成分の積になるから、これはそんなに難しくないと思います。

#1（正しくはi=2,...,nかな）の続きを書くと、
第n行を他の行に足していって、下三角行列。
対角成分は左上から順に
n-1, -2, -2,..., -2, -1。

お礼

再び回答ありがとうございました。

どちらの解法も三角行列にもっていくのがポイントですね！
僕はまだまだ行列の取り扱いができてないですね。
次数下げを行うときは三角行列を作れないか考えてみるようにします。

どちらの解答も非常に勉強になりました。
行列の変形がよりシンプルで見通しがつきやすかったのでベストアンサーにします。
ありがとうございまた。

回答No.2

lusa

途中、計算を省略します。

n項縦ベクトルai(i=1,2,…,n)を
A=(a1 a2 … an)
となるようにおくと
|A|=det(a1 a2 … an)
=det(a1 a2 a3-2a2+a1 … ai-(i-1)a2+(i-2)a1 … an-(n-1)a2+(n-2)a1)
（列に関する多重線型性）
であり、これは図の最初の式のようになる。
ただし＊は計算を省略した数（後の計算で関係ない）を表すものである。
これを計算していくと図のようになり、
（第1式→第2式：展開(?)により一次下げる
　第2式→第3式：行に関する交代性をn回繰り返す
　第3式→第4式：展開(?)により一次下げる）
第4式の行列式はn-2次であるから2^(n-2)となるから
|A|=(-1)^(n-1) (n-1) 2^(n-2)

お礼

回答ありがとうございました。

おお！！
なるほど！
よくわかりました。
一番最初の多重線形性を用いた式変形が自分では到底思いつかないですね・・・
丁寧に解説していただいてありがとうございました。

補足

あ、それと・・・
第2式→第3式：行に関する交代性をn回繰り返す
のところはn-2回に直せばいいんですよね？

詳しく教えていただいてありがとうございました。

回答No.1

noname#130496

とりあえず簡単な形にする。
例えば、第i列-第(i-1)列をi=1,...,n-1でやる。

お礼

回答ありがとうございました。

どう簡単な形に持っていくのかがむずかしくて・・・
試行錯誤しながらしかないんですかね。