a=0かつb=0⇔a^2+b^2=0の複素数版は？

質問

実数a,bで、

a=0またはb=0
⇔
ab=0

a=0かつb=0
⇔
a^2+b^2=0

です。複素数の場合は後半が成り立たないですが、
それに変わるものはあるのでしょうか?

任意の複素数変数多項式f(a,b)で

a=0かつb=0
⇔
f(a,b)=0

が成立しないのなら、その証明はどうすればよいですか？

回答No.2

koko_u_ · ベストアンサー

>a=0かつb=0 ⇔ f(a,b)=0
>となるような複素数変数多項式f(a,b)は存在しないだろう

f(x, b) を x の n 次多項式と看倣せば f(x, b) = 0 なる a は重複を含めて n 個

f(a, b) = 0 ⇒ a = 0 かつ b = 0 であれば f(x, b) = αx^n の形(α は b の多項式)
逆に、f(a, y) を y の m次多項式と看倣すことで f(x, y) = x^n*y^m を得る。

しかし、x^n * y^m は f(x, y) = 0 ⇒ x = y = 0 を満足せず、題意を満たす多項式はない。

回答No.1

funoe

あなたの疑問の本質を把握できていないと思いますが、形式的に、

（前半について）

|ａ|＋|ｂ|＝０　⇒　ａ＝０　かつ　ｂ＝０

なんてのは、いかが？

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
（後半について）

任意の複素数変数多項式f(a,b)で
a=0かつb=0
⇔
f(a,b)=0
が成立しないのなら、その証明はどうすればよいですか？

そりゃ、反例を挙げればよいわけで、

f(a,b)=a+b+1　がその反例になっている。

定数項をもたない多項式に限定しても、逆（下から上）は成り立たないし。

というか、後半の疑問は、「限りなく意味なし」だよね。

補足

前半については、絶対値、または共役を使う例はいいとして、それ以外を知りたいです。
後半については、

a=0かつb=0
⇔
f(a,b)=0
となるような複素数変数多項式f(a,b)は存在しないだろう

という意味です。