a^2+b^2=1 を満たす実数

質問

a = cosx, b = sinx (0 <= x <= 2π)
とおけば
a^2 + b^2 = 1
となるのはお馴染みですが
その他のこの式を満たす実数の組(a, b)は存在するのでしょうか。
幾何学的に考えたらcosxとsinxだけな気がしますが
代数的に証明できるのでしょうか。

回答No.3

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

まず、a, b が共に実数なので、いずれも絶対値は１以下です。
簡単のため、 a≧0, b≧0 の範囲で考えます。

今、a^2 + b^2 = 1 が成立すると仮定します。
0 ≦ x ≦ π/2 の範囲で、0 ≦ sin(x) ≦ 1 かつ、sin(x) は連続な狭義単調増加関数なので、
この範囲で sin(x) の逆関数が存在します。
言い換えると、 sin(x0) = a となる、x0 が一意に存在します。

このとき、sin(x0)^2 + cos(x0)^2 = 1 は明らかです。
一方仮定から、 a^2 + cos(x0)^2 = 1 です。
つまり、cos(x0)^2 = b^2 であり、b≧0 から、cos(x0) = b が言えます。

故に、b = cos(x0) が言えます。

つまり、最初に仮定した a, b は six(x0), cos(x0) の組み合わせだったということになります。

sin(x) の逆関数が存在して、 cos(x0)^2 = b^2 から、cos(x0) = b や cos(x0) = -b が一意に導けるような範囲に分けて、論じれば照明はできると思います。

お礼

ありがとうございます。
仰られた方法を参考に、a,bが負の場合も考えて証明しようと考えてたら
cos(x0)^2 + sin(2π-x0)^2 = 1
ともなることに気が付きました。
幾何学的にも、つまり単位円上と0に頂点をもつ直角三角形を考えれば当然気づくべきことでした。
cox(x0)に対してbがsinの関数として4通りに取れると思います。
勝手に、(a, b)はx0を固定すれば1意に決まると思ってましたが、違ったようです。

回答No.4

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

補足です。

数学の問題としては、

１）任意の x に対して、 sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1
が成立しても、

２）a ^ 2 + b ^ 2 = 1 となる、a, b に対して、 sin(x) = a, cos(x) = b となる x が存在する
が成立することは自明ではないので、質問としてはおもしろいと思います。

回答No.2

MSZ006

（sinX,cosX）はひとつの実数の組み合わせを表しているのではなくて、Xの変化に応じて無数の実数の組み合わせを表しているんですよね。逆に、そうした無数の実数の組み合わせを簡潔に表現する方法として、sin,cosが使われている、と考えてみてはどうでしょうか。

お礼

sinとcosって数学の至る所に出てきて自然な数だなあと思ってます。
ありがとうございました。

回答No.1

kage_hakamada

そんな堅苦しい事考えなくても、三平方の定理から
式を代入すればいいだけなんじゃないの？

お礼

3平方の定理にsinxとcosxを代入すれば当然与式が求まりますが、
逆に他にそのような組み合わせはあるのかな、という疑問からの質問でした。
ありがとうございました。