(a+b)(a-b)=a^2+b^2
別の方の質問で表題の式は間違いかどうか尋ねるものを見かけて気になったので質問します。
実数や複素数のように可換な体で考える分には自明な場合（b=0）しかありませんが、そうでない場合、たとえばa、bを2行2列の行列と考えて、aの(i,j)成分をa(i,j)と表記するとして、数c,d,s,u(u≠0)を用いて
a(1,1)=d
a(1,2)=-(s^2)c/(u^2)
a(2,1)=c
a(2,2)=d
b(1,1)=s
b(1,2)=-(s^2)/u
b(2,1)=u
b(2,2)=-s
によってaとbを定義すると、(a+b)(a-b)=a^2+b^2を満たすことがわかります。このときb^2=0でありab=baです。
一般の環でも同様のことは言えますか？つまり上記より強く、(a+b)(a-b)=a^2+b^2を満たすには、「b^2=0かつab=ba」は必要条件になるでしょうか？
初歩的なことかと思いますが、よろしくお願いします。
お礼
わかりました ありがとうございました！