2次不等式ax^2+5x+b>0・・・(1)

質問

2次不等式ax^2+5x+b>0・・・(1)

(1)a>0とする。(1)が任意の実数xについて成り立つような実数a,bが満たす条件はab>⁇

(2)a=-3の時、(1)を満たす整数xが1のみであるような実数bの範囲を求めよ。

わかりやすく説明も
あると嬉しいです(*^^*)

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

(1)a>0とする。(1)が任意の実数xについて成り立つような実数a,bが満たす条件はab>⁇
＞y=ax^2+5x+bのグラフはa＞0だから下に凸(∪のような形)の二次曲線。
従ってこのグラフがx軸から離れていればxの値にかかわらずy＞0になる。
その場合はax^2+5x+b=0が実数の解を持たないので、根の判別式が負。
よって、5^2-4ab＜0、ab＞25/4・・・答
(2)a=-3の時、(1)を満たす整数xが1のみであるような実数bの範囲を求めよ。
＞y=-3x^2+5x+b=-3(x-5/6)^2+b+3*25/36=-3(x-5/6)^2+b+25/12
だからこのグラフは点(5/6,b+25/12)を極大点とする上に凸の二次曲線。
よって、(1)を満たす整数xが1のみとなるためにはb+25/12＞0・・・・・(ア)
かつ、-3x^2+5x+b=0の解のうちの小さい値が1以下で大きい値が2より
小さければよい。3x^2-5x-b=0の解はx={5±√(25+12b)}/6だから
{5-√(25+12b)}/6＜1・・・・・(イ)、{5+√(25+12b)}/6＜2・・・・・(ウ)
(ア)からb＞-25/12(ア')、(イ)から√(25+12b)＞-1、これは(ア')と同じ。
(ウ)から√(25+12b)＜7、25+12b＜49、12b＜24、b＜2
よって(ア')とあわせて-25/12＜b＜2・・・答

回答No.4

info22_

[1]
a>0なので
ax^2+5x+b>0 ...(1)
(1)の左辺の
y=f(x)=ax^2+5x+b ...(2)
のグラフは下に凸の放物線です。(1)が成り立つことは
y=f(x)のグラフがx軸より上に存在することと同等です。
y=f(x)のグラフがx軸の上方に存在することは
方程式f(x)=0が実解を持たない（２虚数解をもつ）ことと同等です。
つまり、２次方程式
ax^2+5x+b=0(a>0)が２虚数解を持つことは、
　判別式D=25-4ab＜0 であることと同等です。
これから
「ab＞25/4」 ←　[1]の答え
が導かれます。

[2]
a=-3の時
y=f(x)=-3x^2+5x+b　,,,(3)
このグラフは上に凸のグラフです。
f(x)=-3x^2+5x+b>0　,,,(4)
を満たすxの範囲はy=f(x)のグラフがx軸より上にあるxの範囲です。このxの範囲に含まれる整数がx=1のみであるための必要十分条件は
　f(1)=-3+5+b=b+2>0 かつ
　f(0)=b≦0　かつ
　f(2)=-12+10+b=b-2≦0
を同時に満たすことである。これらのbについての３つの不等式を同時に満たすbの範囲を求めると
　-2<b≦0 ...[2]の答え

回答No.2

asuncion

設問1
ax^2 + 5x + b > 0（ただし、a > 0）
これが任意の実数xについて成り立つとは、
不等式の左辺 = 0とおいて得る2次方程式がx軸と交差しない、
つまり実数解を持たないということと同値である。
左辺 = 0の2次方程式が実数解を持たないので、判別式 < 0
判別式 = 5^2 - 4ab = 25 - 4ab < 0
4ab > 25
∴ab > 25/4

設問2
a = -3であるから、f(x) = -3x^2 + 5x + bのグラフは下に凸な放物線である。
f(x) > 0を満たす整数xが1のみであるから、添付図のとおり、
f(0) < 0 …… (1)
f(1) > 0 …… (2)
f(2) < 0 …… (3)
(1)(2)(3)すべてを満たす必要がある。
f(0) = b < 0
f(1) = 2 + b > 0より、b < -2
f(2) = -2 + b < 0より、b < 2
これらをすべて満たすbの範囲は、b < -2

回答No.1

shintaro-2

>(1)a>0とする。(1)が任意の実数xについて成り立つような実数a,bが満たす条件はab>⁇

ax^2+5x+b>0 なので
ax^2+5x+b=0が実数解を持たないことが条件です。

つまり、解の公式で判別式D<0になること。

>(2)a=-3の時、(1)を満たす整数xが1のみであるような実数bの範囲を求めよ。

　a=-3ということは、
y=ax^2+5x+bをグラフに描くと上に凸のグラフになります。

X=1の時、Y>0（つまり2+b>0）かつ、X=0,X=2でy<0となればOKです。

y=-3x^2+5x+bを解いて、解が０以上、＋２以下になることが条件（0と2である必要はない）、重解ではないので判別式D>0