数学の質問です。

質問

数学の質問です。

実数a,bが不等式|a|<1<bを満たすとき、

-1<ab+1/a+b<1が成立することを証明せよ。

回答No.2

Rice-Etude · ベストアンサー

No.1です。補足欄への回答です。

問題の式の真ん中の辺を見てください。分母に「a+b」が入っていますよね？

(3)までの展開では、両辺のどこにも「a+b」が入っていません。なので、どこかでこの「a+b」というものを作り出す必要があります。

ここで、もう一度(3)の式を見ます。(3)の式の右辺は、問題の式の真ん中の辺の分子と同じ形をしています。ということは「（0の値ではない）a+b」で割れば、まったく同じ式になることは想像がつくと思います。
この「a+bで割る」という操作が必要ということを憶えておいてください。

一方、問題の式の左辺は「-1」ですが、(3)の式の左辺は「-b+1」です。もし(3)の式の左辺が「-b-a、すなわち-(a+b)」だったら、先ほどの「a+bで割る」という操作で「-1」が作り出せます。だから、できれば「-b-a」を作り出したいわけです。

じゃあ、式(3)左辺の「-b+1」と「-b-a」はどういう関係なのかを調べてみよう...ってことで比較を行うわけです。

ここでのキーポイントは、いっぺんに両辺の式の形を導くのではなく、まずは片方の式（この場合は問題の式の真ん中の辺）に合うように変形し、残った辺（この場合は問題の式の左辺）については、導いた式の反対側（式(3)左辺）と比較してみるというところです。

回答No.1

Rice-Etude

全部を答えるのも何なので、左辺の-1<(ab+1)/(a+b)だけ証明します。これをヒントに残りの(ab+1)/(a+b)<1の証明を考えてみてください。

|a|<1 ⇔ -1<a<1 (1)
1<b ⇒ bは正の実数（逆は成り立たず） (2)
なので

-1<a (1)より
⇒-b<ab (2)より、上の式の両辺にbをかける
⇒-b+1<ab+1 上の式に1を足す----(3)

ここで
-b-a<-b+1 (1)より-aは1未満
⇒-b-a<ab+1 (3)と上の式より
⇒-(a+b)<ab+1
⇒-1<(ab+1)/(a+b) bは1より大きく、aは-1より大きいため、a+bは正、これで両辺を割る
（左辺の証明終了）

補足

すみません。
「ここで」のところの
-b-a<-b+1ってどこからきたのですか？？

低レベルですみません。