1階常微分方程式で。。。

質問

最近独学で微分方程式を勉強していたんですけど、
1階常微分方程式の辺りで躓いてしまいました。。。
わからない問題は死ぬほどあるんですけど、
この三問の解法を教えてください<(_ _)>
他は…もう少し頑張ってみます頑張ってみます。

1)一般解を求めよ：y´=(x-1)y^2
2)次の初期値問題を解け：y´=2xy(1+y),y(0)=-1/2
3)一般解を求めよ：y´=(x+y)/(x-y)

回答No.3

snobbery · ベストアンサー

1)
log|y^2|=x^2/2-x+c
log|y^2|=(x^2/2-x+c)×log e
log|y^2|=log e^(x^2/2-x+c)

logを外して
y^2= e^(x^2/2-x+c)
y= e^(x^2/4-x/2+c/2)

ここでe^(c/2)=Cとおくと

y= C e^(x^2/4-x/2)

2)
1/2(log|y|-log|y+1|)=x^2+c
log│y/(y+1)│=2x^2+2c
log│y/(y+1)│=2x^2+2c×log e
log│y/(y+1)│=log e^(2x^2+2c)
y/(y+1)=e^(2x^2+2c)
ここでe^2c=Cと置いて
y=(y+1)Ce^(2x^2)
y{1-Ce^(2x^2)}=Ce^(2x^2+2c)
y=Ce^(2x^2+2c)/{1-Ce^(2x^2)}

と、まぁこんな感じでしょうか。

log(・・・)＝log(・・・)の形にする。
↓
logを外して　（・・・)＝（・・・）の形にする。
↓
y=(・・・)の形にする。

お礼

ありがとうございます!!!＞＜
あの後自分なりにといてみたんですが
少し答えが違ったみたいです(；´∀｀)

log(・・・)＝log(・・・)の形にする。
↓
logを外して　（・・・)＝（・・・）の形にする。
↓
y=(・・・)の形にする。

というところがとても参考になりました＾＾
早速コレを使ってもう1回といてみようと思います♪

回答No.2

rabbit_cat

間違えました。３はu=y/xと置いて、変数分離系にするのが正解です。

回答No.1

rabbit_cat

1. 両辺をy^2で割れば変数分離系
2. 両辺をy(1+y)で割れば変数分離系
3. x-y=uと変数変換すれば線形微分方程式になる

補足

返信が送れて申し訳ありませんでした<(_ _)>

rabbit_catさんのアドバイスを見る限りでは、(1)・(2)は
左辺にyを残して右辺にxを残すっていう事がミソなんですか？
(3)に関しては
最初の二問をやってみたんですけど途中でやり方が
わからなくなってしまいました(´Д⊂

1)
dy/dx=(x-1)y^2
dy/y^2=(x-1)dx
∫dy/y^2=∫(x-1)dx
log|y^2|=x^2/2-x+c

ここでわからなくなってしまいました(；；
答えの形は最終的には"y="って形になるんですか？

2)
dy/dx=2xy(1+y)
dy/y(1+y)=2xdx
∫dy/y(y+1)=∫2xdx
1/2∫{(1/y)-(1/y+1)}dy=x^2+c
1/2(log|y|-log|y+1|)=x^2+c

(1)と同じでここから先がわからないです（；；