二次方程式の条件

質問

（問題）
二次方程式x^2-2x+k=0について、次の条件を求める。
(1)２つの解が異なる正の数になる。
答え→0<k<1
(2)異なる符合の２つの解。
答え→k<0

x^2-2x+k=0を(x-1)^2=0と考えてみました。
(x-1)^2を展開し、x^2-2x+1=0なのでK=1
という方法で計算はしたのですが、等号の向きや答えの0<k<1やk<0の0がどこから出てきたのかが、よくわかりません。
教科書や参考書も見直してはいるのですが・・・。
教えて下さい。宜しくお願い致します。

回答No.5

hika_chan_

x^2-2x+k=0
x^2-2x=-K
F=y=x^2-2x ,g=y=-k 右辺と左辺に分ける

ここで、Fのグラフを書きます。
そうすると、答え[x]が正の数になる[y]の範囲が0～-1とわかります。y=-kと決めたので、代入すると
-1<y<0
-1<-k<0　　　すべてにマイナスをかける。符号の向きが逆転する
0<k<1 （１）終了

(2)も同じように[y]が0から上のところでは答え[x]が正と負になっていることがわかると思います。
なので、y>0 y=-kなので
-k>0 マイナスをかけると符号が逆転する
k<0 (2)答え・・・こんな感じで解きます。

補足

こんばんは。
解説ありがとうございます。
ひとつ質問したいのですが、何故なのか教えていただけないでしょうか？宜しくお願い致します。

x^2-2x=yのグラフを描いて考えました。
解説に
“答え[x]が正の数になる[y]の範囲が0～-1・・・”
と、ありますが、[x]が正の数になるのは、x≧3（xが３以上）の場合もありえないですか？そうしたら[y]の範囲が定まらないですよね？何故[y]の範囲が0～-1となるのでしょうか？

回答No.4

nisinihon_765

失礼ですがどちらも教科書や参考書に載っている程度の問題だと思います。もう一度見直してみてください。

以下、f(x)=x^2-2x+kとおきます。

>>(1)２つの解が異なる正の数になる。

まず設問を
I：２つの異なる解を持つ
II：その解がともに正
という条件に分けます。

Iは判別式から
1^2-k>0⇔k<1
II⇔f(x)=x^2-2x+k=(x-1)^2-1+kの軸が正、かつ、f(0)>0

IIは図を描いてみると理解しやすいです。（但しこれはf(x)が下に凸の二次関数だからです。もし上に凸なら軸が正とf(0)<0が条件）

II⇔軸x=1（>0より自明）かつf(0)=0^2-2・0+k=k>0
⇔0<k

IとIIから0<k<1となるのです。

>>(2)異なる符合の２つの解。
判別式なんか利用する必要はありません。
この問題はf(0)<0をみたせばいいのです。よってf(0)=k<0、答えはk<0。

ちなみに、もしf(x)が上に凸の関数ならf(0)>0を満たせばいいことになります。

判別式、関数の軸、ｙ軸の切片から解の性質を見分ける方法でした。恐らく参考書には載っているでしょう。

次は方程式のみから解く方法。
まず(1)(2)とも異なる２つの解を考えているので判別式から異なる２つの解を持つことを保証しておきます。（1^2-k>0⇔k<1）
次にx^2-2x+k=0の２解をα、βとおく。
解と係数の関係より
α＋β＝２
α×β＝ｋ

(1)α、βともに正⇔α＋β>０かつα×β>０
よりk>0（判別式の条件よりｋ<1なので合わせて0<k<1）

(2)αとβが異符号⇔α×β<0
よりk<0（判別式の条件よりｋ<1なので合わせてk<0）

この２つの方法で解くのが模範解答でしょう。どちらでやるかは好みです。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.3

php504

ああ勘違い
判別式じゃなく軸の位置ですね
2次方程式のグラフをy軸方向に移動した式とか頂点の座標を求めよとか習わなかったでしょうか
x^2-2x+k=(x-1)^2-1+k
ですよ

お礼

アドバイスありがとうございました。

回答No.2

kusukusu

(1)二次方程式解の公式より
＊ちょっと見にくいですが、意味は分かると思います(^^;
x=(2+√4-4k)/2 or (2-√4-4k)/2
　　↓綺麗にすると
x=1+√(1-k) or 1-√(1-k)

異なる正の数であるためには、
1-√(1-k)>0
よってk>0
また正の数であるためには、複素数がでたらまずいので
1-k>0
よって k<1

(2)
同様に 1+√(1-k)>0は明らか(複素数じゃないから)なので、
1-√(1-k)<0
であるためには
1<1-k
よってk<0

補足

返事が遅くなり申し訳ありませんでした。
回答を参考に考えてみたのですが、途中から解らなくなりましたので、再度質問させてください。

異なる正の数であるためには、・・・から以下の説明ですが、
☆何故1-√(1-k)を使うのですか？（1+√(1-k)を使わないのは何故ですか？）
☆“複素数”ですが、自分でも調べてみましたがそれが何なのか意味がわかりませんでした。なので、
「複素数がでたらまずい」「複素数じゃないから」のような説明が理解できませんでした。出来れば、“複素数”についても解りやすく教えていただけないでしょうか。

宜しくお願い致します。

回答No.1

php504

判別式って聞いたことないですか
D=b^2-4ac
という式ですが