絶対値の二次方程式

質問

方程式｜x^2+x-2｜-｜x^2-x-2｜+p=0の正の実数解の個数をpの値によって分類せよ

という問題の解説をお願いします

回答No.1

noname#158987 · ベストアンサー

まず、うざい絶対値記号をはずしましょう。
場合分けすればはずせますよね？

x^2+x-2 の正負
x^2-x-2　の正負

で、４通り出てくるでしょう。
そして、たとえば、
x^2+x-2>0　かつ　x^2-x-2>0
の場合、それぞれの不等式を解いてxの範囲を求めます。
その範囲が「かつ」で結ばれていますから、
xの範囲が狭まるでしょう。
二つのxの範囲をかつで結ぼうとした場合、
もしかしたら結べないものが出てくるかもしれません。
たとえば、
-1<x<0　かつ　2<x<5
みたいな。
そういう時は、そのパターンは存在しないということになります。

最初に示した４通りに対応して
絶対値記号が外れた式が得られるはずです。
ぱっと見た感じ２次関数の場合と１次関数の場合があるみたいです。

pは右辺に持っていて-pとしましょう。
y=｜x^2+x-2｜-｜x^2-x-2｜と、　　　　 ←絶対値記号をはずした状態にすること。
y=-p　の
交点を考えましょう。
そして
正の実数解の個数をpの値によって分類するのです。

お礼

x^2+x-2 の正かつx^2-x-2の負、x^2+x-2 の正かつx^2-x-2の正…とわけるのですか？

あと「正の実数解の個数をpの値によって分類するのです。 」と問題文の分類の意味が分からないのですが…

回答No.3

noname#158987

ええっと、正の実数解の数でしたね。
ごめんなさい。間違えました。我ながら、そそっかしいですね。

正の実数解の数ですから、先程のグラフ(2)のx≦0側は要りません。
で、
右半分のグラフの交点を求めてください。
こうなると、y=-p　の符号もちゃんと考えないといけません。

で、答えは、
p≦0 1個
0<p<2 2個
p=2 1個
2<p 0個
です。
これであってると思います。ふうっ（汗）。
グラフ(2)は原点を通りますが、正の実数解という制限があるので、白丸（つまりないということ）になります。
その結果、p≦0の不等号にイコールが入るということになります。

お礼

了解です

回答No.2

noname#158987

回答者Ｎｏ．１です。
ちゃんと解いてみました。

答えは、
p>2 または p<2 のとき、１個
p=2 または　-2　のとき、２個
-2<p<2のとき、３個です。

先日の回答では、パターン分けするように言いましたが、
実際解くに当たってグラフ化することも考えるのに有効であると分かりました。

｜x^2+x-2｜-｜x^2-x-2｜+p=0
⇔｜x^2+x-2｜-｜x^2-x-2｜=-p

とします。

この式の意味は、グラフ的に考えると、
y=｜x^2+x-2｜-｜x^2-x-2｜
と
y=-p
交点を求めることと等しいです。

で、y=｜x^2+x-2｜-｜x^2-x-2｜のグラフを描くために以下のようなことをします。
まず、
y=x^2+x-2　・・・式(1)
y=x^2-x-2　・・・式(2)　
のグラフ（これらをまとめてグラフ(1)としましょう）を同じグラフ紙に書きます。
これらのx軸（つまりy=0）との交点を求めてそのグラフに書き込んでください。
-2,-1,1,2と出てくるでしょう？

グラフ(1)をもとに絶対値記号をはずします。
先日は数式のままイメージしていましたので、
あんな回答でしたけど、グラフ化するともっとすっきりすることが分かりました。
で、絶対値記号は正（どっちでもいいけど、ゼロもこっちに入れちゃいましょう）ならそのまま外す。
負なら全体にマイナスをつけて外す。

絶対値を外す際にグラフ(1)を見てくださいね。
式(1)と式(2)がそれぞれ正か負かはＸ軸の上にあるか下にあるかで場合分けできるでしょう。

それぞれの場合分け（定義域）で
y=｜x^2+x-2｜-｜x^2-x-2｜

グラフ（グラフ(2)としましょう）が描けます。
アルファベットのＮみたいなグラフです。

x≦-2 y=2x
-2≦x≦-1 y=-2x^2 + 4
-1≦x≦1 y=-2x
1≦x≦2 y= 2x^2 - 4
2≦x y=2x

不等号のイコールはどっちについていてもいいです。
ここではどっちにもつけました。

このグラフを描いたら、ようやくpの登場です。
最初の式覚えてますか？
｜x^2+x-2｜-｜x^2-x-2｜+p=0
⇔｜x^2+x-2｜-｜x^2-x-2｜=-p　・・・式(3)
式(3)の左辺はグラフ(2)で描かれています。

これに、
y=-pを当てていくのです。
このy=-pというグラフは、横線です。（たとえば、y=1みたいな。）
この横線がどの高さだとグラフ(2)との交点がいくつになるか（つまり答えの個数）
わかるというわけです。
pではなく、-pですから気をつけて。
最後に符号と不等号をひっくり返す必要があります。
（まあ、グラフが点対称なので、＋pだと勘違いしても答えはあってしまうんですが・・・）

で、
答えはすでに最初に示したとおりです。

では頑張ってください。

お礼

すごい詳しくありがとうございます
そういえば三次関数で不定数の式の共有点の個数を出す問題をやりましたがそれが言葉を変えてでてきただけなんですね
これで取り組めそうです！