サラスの公式

質問

サラスの公式（実3次正方行列の行列式の公式）の証明が分からず困っています。
「まず、27個の行列式の和に分解し、そのうち0ベクトルの行を持つものを消去し、各行列式を性質（行の入れかえ）によって、対角行列の行列式にし、成分の積に直す。」という方法の証明が知りたいのですが…何かアドバイスやその証明が載っているURLなど、よろしければお願いします！

回答No.3

hugen · ベストアンサー

[a b c][d e f][g h i]
＝
[a b c][0 e f][0 h i]＋[0 b c][d e f][0 h i]＋[0 b c][0 e f][g h i]
＝
[a b c][0 0 f][0 0 i]＋[a 0 c][0 e f][0 0 i]＋[a 0 c][0 0 f][0 h i]
＋・・・
＝
[a b c][0 0 0][0 0 0]＋[a b 0][0 0 f][0 0 0]＋[a b 0][0 0 0][0 0 i]
＋・・・

お礼

回答ありがとうございます。
参考にしながら、やってみたところ、無事、解くことができました。
おそらく合っていると思います。

本当にありがとうございました！

回答No.4

koko_u_

>定義のことですが、n次正方行列Aに対して、
>その行列式detAは実数値をとり、以下の性質を満たすというものです。
>(1)ある1つの列をr倍すると行列式もr倍になる。
>....

その「定義」から出発するのはツラすぎる。
行列式の求め方が一意に示されていないので、これで定義しようとするとまず

すべての行列に対して「行列式が一意に求まる」こと

を証明せねばならず、それだけでかなりの紙数を費やすことになりそうです。

その時も結局 det(A) = Σsing(σ)a_{1σ1}a_{2σ2}…a_{nσn} と定義して、上記の定義で求めた値に一致することを言うことになりそう。

お礼

この問題に使う定義はこれと先生に言われたので…これだけだと、何だか、大変そうですね。

アドバイス、ありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

>以下の2次の行列式の場合のような証明のやり方を使って
これなんですか？
一般的ではない表記で書かれていて
。。。何のことやら分かりません
余因子展開ともちがうし・・・

そもそも「行列式」ってのは「定義」であって
それを三次のときに書き下したものを「サラスの公式」
と呼ぶだけです．
ちなみに「実」である必要は全くありません．
純粋に代数的定義されるもので実数の性質は使いません．

あなたの採用している「行列式の定義」とは何ですか？
それがわからないことには誰もあなたの意図していることは
分からないでしょう．
普通なら行列式は置換群の符号数を用いて定義します．

お礼

無事、解くことができました。
初めて知ったこともあったので、良かったです。

回答、ありがとうございました！

補足

行列みたいな書き方をしてしまって、すみません。
行列式は、この書き方でいいんでしょうか？
|a b||c d｜
=|a b||0 d|+|0 b||c d|
=|a b||0 0|+|a 0||0 d|+|0 b||c 0|+|0 0||c d|
=0+|a 0||0 d|+|0 b||c 0|+0
=|a 0||0 d|-|b 0||0 c|
=ad-bc

そうなんですか？先生がそう黒板に書かれていたので、必要かと思いました。教えてくれてありがとうございます！

定義のことですが、n次正方行列Aに対して、その行列式detAは実数値をとり、以下の性質を満たすというものです。
(1)ある1つの列をr倍すると行列式もr倍になる。ただしrは実数であり、0でもよいとする。
(2)ある列に他の列のk倍を加えても行列式は変化しない。
(3)2つの列を入れかえると、行列式の符号±が反転する。
(4)行列Aのある列aiが2つのベクトルの和a'i+a"iに等しいとき、Aの行列式はaiをa'iに置き換えた行列式とaiをa"iに置き換えた行列式の和に等しい。
det(a1 … a(i-1) a'i+a"i … an)=det(a1 … a(i-1) a'i a(i+1) … an)+det(a1 … a(i-1) a"i a(i-1) … an)
(5)(n次を書くのをどう書いたらいいのか分からないので、例として、実4次正方行列の場合）
det(a11 0 0 0)
(a21 a22 a23 a24)
(a31 a32 a33 a34)
(a41 a42 a43 a44)
=a11det(a22 a23 a24)
(a32 a33 a34)
(a42 a43 a44)
行がずれていて、見にくくてすみません。

回答No.1

koko_u_

3次正方行列の行列式をサラスの公式と言うことを初めて知りましたが、
単純に行列式の定義を書き下せば終わりではないのですか？

>「まず、27個の行列式の和に分解し、
>そのうち0ベクトルの行を持つものを消去し、
>各行列式を性質（行の入れかえ）によって、
>対角行列の行列式にし、成分の積に直す。」
がまったくわかりません。

補足

行列式の定義を書き下す、という証明をよければ、具体的に教えていただけませんか？

以下の2次の行列式の場合のような証明のやり方を使って、サラスの公式を証明したいのですが…。
[a b][c d]=[a b][0 d]+[0 b][c d]
=[a b][0 0]+[a 0][0 d]+[0 b][c 0]+[0 0][c d]
=0+[a 0][0 d]+[0 b][c 0]+0
=[a 0][0 d]-[b 0][0 c]
=ad-bc