行列の証明問題 (固有値と固有ベクトルの性質)
行列A=[a(jk)](j:行 k:列 )に関する諸命題を証明し、適当な例を用いて説明せよ。
ただし、λ(1),・・・,λ(n)はAの固有値とする。I:単位行列
(a)実固有値と複素固有値
Aが実行列のときには、その固有値は実数または共役複素数の対からなる。
(b)逆行列
逆行列A^(-1)は0がAの固有値でないとき、またそのときに限り存在する。
その固有値は1/λ(1),・・・,1/λnである。
(c)トレース
Aの対角成分の和をトレースまたは対角和という。これは固有値の和に等しい。
(d)スペクトル移動
行列A-kIは固有値λ(1)-k,・・・,λ(n)-kをもち,Aと同じ固有ベクトルをもつ。
(e)スカラー倍、ベキ
行列kAの固有値はkλ(1),・・・,kλ(n)であり、行列A^m(m=1,2・・)の固有値は
λ(1)^m,・・・,λ(n)^mである。固有関数はいずれもAの固有関数と同じである。
(f)スペクトル写像定理 ’多項式行列’
p(A)=k(m)A^m＋k(m-1)A^(m-1)＋・・・+k(1)A＋k(0)I は固有値
p(λj)=k(m)λj^m＋k(m-1)λj^(m-1)＋・・・＋k(1)λ(1)^(m-1)＋k(0) (j=1,・・・,n)
をもち、Aと同じ固有関数をもつ。
(g)ペロンの定理
正の成分l(12),l(13),l(31),l(32)をもつレスリー行列Lには１つの正の固有値が
存在することを示せ。
これらの問題(証明)が難しくて分かりません。教えて下さい、お願いします。
お礼
ご解答ありがとうございます。 行列をジョルダン標準形に相似変換することを、一般に対角化すると呼ぶと勘違いしていました。 Tacosan様の回答では質問の回答には不十分であると思われますが、私も具体的方法を求めて いることを書いておりませんでしたので、今回は次点をつけさせていただきます。