行列問題なのですが、まったく分かりません。

質問

行列問題なのですが、まったく分かりません。

サイズが同じである２つの対角行列の積は、対角行列であることを示せ。とくに、積の対角成分は2つの対角行列の対応する対角要素の積になることを示せ。（一般のサイズについて厳密な証明を与えること）

詳しい解答をお願いします。宜しくお願いします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

＞「一般のサイズについて、厳密な証明を与えること」とはどういうことでしょうか？
一般のサイズということで、n次の正方行列として考えればよいと思います。

他の質問もあるので、もう少し付け加えておくと、
(ＡＢ)(i, j)＝Σ[k=1～n] a(i, k)* b(k, j)

と表すことができますね。
k= iのとき、a(i, k)は 0ではないですが、b(k, j)は 0になりますね。
このように考えていくと、対角成分のみが 0でないことと対角要素の積であることが示されます。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

まず、「対角行列」ということを成分を用いて定義することを考えてみてください。
行列Ａの成分を a(i, j)と表すことにすると、対角行列であるとは
・a(i, i)≠ 0
・a(i, j)＝ 0（i≠ j）

と書けますね。
同様に、対角行列Ｂの成分も定義します。

積である行列ＡＢの成分 (ＡＢ)(i, j)を a(i, j)、b(i, j)を用いて表します。
先の定義を用いることで、これも対角行列であることが示されます。

補足

回答ありがとうございます。おかげで理解できました。
しかし、「一般のサイズについて、厳密な証明を与えること」とはどういうことでしょうか？
よろしくお願いします。