上三角行列同士をかけたときの積も上三角行列となることを示すには？

質問

正方行列AとBがともに上三角行列であるとき、積ABもまた上三角行列となることを示せ。
という問題がわかりません。
自分で解こうとしましたが、以下のような状態で、証明できていません(^_^;)

行列式|A|はAの対角成分を掛け合わせたもの。同様に行列式|B|はBの対角成分を掛け合わせたものになっている。また、|AB|=|A||B|より、積ABの行列式はAとBの全ての対角成分を掛け合わせたものとなる。よって、|AB|はAとBの対角成分のみから構成されているので、積ABもまた上三角行列である？？？

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

A, B が上三角行列なら、その (i,j) 成分は、
i < j のとき、A[i,j] = B[i,j] = 0 です。

A, B の積を作ると、
(AB)[i,j] = Σ{k=1…n} A[i,k] B[k,j] ですが、
i < j の範囲では…

　　i ≧ k ≧ j とはなりえないので、
　　i < k または k < j の少なくとも一方は成り立ち、
　　A[i,k] と B[k,j] の少なくとも一方は 0、
　　すなわち A[i,k] B[k,j] = 0 です。

　　よって、Σ しても、(AB)[i,j] = 0。

これは、積 AB が上三角行列だということですね。