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バスケの得点とフィボナッチ数列の関連性
- バスケの得点は、シュートごとに２点か３点増えます。
- n点をとる場合の数をa[n]として、a[n]=a[n-2]+a[n-3]の一般項を求めます。
- バスケの得点とフィボナッチ数列には類似の性質があるかもしれません。
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一般項は、x^3-x-1=0 の解を α,β,γ とすると、 a[n] = (1/23)(9+3α-2α^2)α^n + (1/23)(9+3β-2β^2)β^n + (1/23)(9+3γ-2γ^2)γ^n となります。導き方は、 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1011596670 を参考にすることができます。 そして、一般項を実数で（つまり i を含まない式で）表すこともできます。 http://okwave.jp/qa3063590.html を参考にしてみてください。 http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/396_hanoi.htm によると、 この数列はパドヴァン数列と呼ばれるようです。 そして、生成規則はそのままで最初の項を a[0]=3 , a[1]=0 , a[2]=2 にするとペラン数列と呼ばれる数列になり、 ペラン数列は「n が素数のとき、a[n] は n で割り切れる」という 興味深い性質があります。
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- banakona
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＃２です。 komimasaH様、お騒がせしました。 （ワケあって夜はネットを使えないのでお詫びが遅れました。） ＞「複素数のまま」計算する必要があることを失念されていたのではないでしょうか その通りです。orz 単純に偏角と絶対値を求めて、ドモアブルの定理で実部だけ計算していました。 私も再計算してkomimasaH様と同様のC1,C2,C3を算出できました。 どうにも使う気にはなれない一般項ですね。
- komimasaH
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a[n]=a[n-2]+a[n-3] がフィボナッチ数列の定義でしょ？ バスケでは成り立つのは当たり前なのでは。
- Tacosan
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主に #2 の回答に向けて, ですが: すみません, 3次方程式を解きたくなかったので逃げてしまいました. 方程式の解はそれで合っていると思います. ただ, 係数 c1, c2, c3 を計算するときに, 「複素数のまま」計算する必要があることを失念されていたのではないでしょうか. メモと電卓を駆使した手元計算だと, (有効桁 2桁程度で) c1 = 0.41, c2 = 0.29 + 0.14i, c3 = 0.29 - 0.14i くらいの値になっています. Google で a[1]～a[3] まで検証して, 2桁の精度であっていることを確認しています.
- banakona
- ベストアンサー率45% (222/489)
＃１さんの続きをやってみました。 方程式 x^3 = x+1 を数値的に解いてみたら 実数解 ｘ＝1.32471795724475 虚数解 ｘ＝-0.662358978622373±0.562279499068826ｉ となりました。＃１さんの記号を借りてｘ１が実数解とすると、a[n]は整数なので、虚数解のｎ乗の実部のみを計算し、これとｘ１のｎ乗とから、エクセルでc1, c2, c3を算出したら、次のようになりました。 c1≒0.5, c2＝c3≒0.5 でもこの値を使うと、結構な誤差が出るんです。 a[n] =｛0,1,1.5,1,2.5,2.5,3.5,5,6,・・・｝ 実際には a[n] =｛0,1,1,1,2,2,3.4,5,7,・・・｝ なので無視できないですね。でも漸化式はｎ＞４で満たしているようなので（ぜんぜん数学的じゃないけれどｎ＝３０まで調べました）「惜しい」と思います。 ｎ＝３で早くも大きな誤差がでているので、ｎ乗の累積誤差ではなく解自体の誤差が原因だと思うのですが・・・
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
理屈のうえからは, x^3 = x+1 の解 x1, x2, x3 を使って a[n] = c1 x1^n + c2 x2^n + c3 x3^n (c1, c2, c3 は初期値 a[1], a[2], a[3] で決まる定数) と書ける, はず.
お礼
ありがとうごじあました。