フィボナッチ数列の一般化？

質問

数列｛F_n｝で、F_0＝0、F_1＝１が与えられていて、3項間の関係　F_(n+2)=F_(n+1)+F_ｎを満たすとき、フィボナッチ数列で、一般項も求まります。
これがF_0、F_1、F_2が与えられて、４項間の関係　F（n+3)=F_(n+2)+F_(n+1)+F_ｎ　を満たすとき、一般項は求まるのでしょうか。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

←A No.2 補足

解の導き方は、それで正しい。
解法を理解しているかどうかは、
その二次方程式をどこから持ってきたか
を自分で説明できるかどうか次第だ。
「そうやれと習ったから」では、残念。

F[n+2] = F[n+1] + F[n]　…(*) は、
線型漸化式と呼ばれる漸化式のグループに
含まれる。名前はどうでもいいが、
要するに、初期条件の異なる二つの解
x[n+2] = x[n+1] + x[n] と
y[n+2] = y[n+1] + y[n] があるとき、
和 x[n] + y[n] や定数倍 a x[n] も(*)を満たす
ということ。(確認してみて下さい。)
だから、初期条件は別として(*)の式は満たす
二つの解 x[n], y[n] が見つかれば、
F[n] = a x[n] + b y[n] と置いて
a, b についての連立一次方程式
F[1] = a x[1] + b y[1],
F[2] = a x[2] + b y[2]
を解くと F[n] が求まる。

さて、その x[n], y[n] をどうやって探すかだが、
等差数列とか、等比数列とか、簡単な数列を
イロイロためしてみると、等比数列が使えそうだ
ということに気がつく。(気づいてね。)
x[n] = r^n が全ての n で(*)を満たすためには、
r^2 = r + 1　…(**) が成立していれば十分だからだ。
r^(n+2) = r^(n+1) + r^n の両辺が r^n で割れるから。
二次方程式(**)の解が重根でなければ、
r は二つあって、x[n] と y[n] が両方作れる。らっき。
…という訳で、漸化式(*)を見たら
特性方程式(**)を解くことになる。

上記が、漸化式が何項間漸化式かによらない話
であることに注意。四項間の場合も同様に、
F[n+3] = F[n+2] + F[n+1] + F[n] を満たす
r^n を三つ求めるため、
方程式 r^3 = r^2 + r + 1 を解けばいい。
その解を r = α, β, γ として、
F[n] = a α^n + b β^n + c γ^n が初期条件を
満たすように a, b, c についての連立方程式
F[1] = a α^1 + b β^1 + c γ^1,
F[2] = a α^2 + b β^2 + c γ^2,
F[3] = a α^3 + b β^3 + c γ^3
を解けば完了する。

お礼

腑に落ちる解答、ありがとうございました！

回答No.3

Tacosan

3次方程式における解と係数の関係を念頭において, #2 への補足と同じような処理を, 今考えている 4項間漸化式に適用してみてください.

回答No.2

alice_44

＞ とありますが、なぜですか？

まず、貴方が理解しているフィボナッチ数列の一般項の求めかた
を補足に書いて説明してみてください。
なぜ、その方法でフィボナッチ数列が求まるんでしょうね？
それが本当に解かっていれば、４項間の漸化式でも全く同様
であることが解かるはずなんですが、さて。

補足

早々の書き込みありがとうございます。

x^2-x-1=0 の回をα、βとします。

F_(n+2)　-　αF_(n+1)　=　β（F_(n+1)　-　αF_n）
F_(n+2)　-　βF_(n+1)　=　α（F_(n+1)　-　βF_n）　

と変形できるので、｛F_(n+1)　-　αF_n｝は公比β、｛F_(n+1)　-　β_n｝は公比αの等比数列・・・・。

でしょうか。

回答No.1

spring135

x^3-x^2-x-1=0　　　　(1)

の解α、β、γが見つかれば

F(n+3)=aα^n+bβ^n+cγ^n

として形式的には求まるでしょう。

ただし(1)は2個の共役複素根と1個の実根を持つので

使いやすい形になるかわかりません。

お礼

早々の書き込みありありがとうございます。

＞x^3-x^2-x-1=0　　　　(1)
＞の解α、β、γが見つかれば
＞F(n+3)=aα^n+bβ^n+cγ^n
＞として形式的には求まるでしょう

とありますが、なぜですか？