数列(一般項の帰納法による定義)
お世話になっております。
数列の単元で、漸化式から帰納法によって一般項を定める問題例がありますが、これについて少し抽象的な質問をさせて下さい。
例題 次の条件によって定められる数列{An}の一般項を求めよ。 A[1]=2,A[n+1]=An/(1+An) (n=1,2,3,…)
まず、実際に幾つかの値を得て、
A[1]=2, A[2]=2/3, A[3]=2/5,……となるから、
An=2/(2n-1)…(1) になると「推測」される。帰納法によってこれを証明する。以下略
ここで、質問です。
数列は、まず幾つかの具体的な値から第n項を定めることから学び始めますが、このことと今、第n項が(1)になると「推測」されることとは何が違うのでしょうか。推測だけではだめだから、帰納法で全ての自然数nについて(1)が成り立つことを示すのがこの問題の目的になるのでしょうが、そうなると、全ての数列について帰納法によって証明しなければいけないような気になってくるのですが、どんなものなのでしょう。
また、この問題は漸化式を拠り所に第n項を類推しますが、この例題ならば具体的な値から規則性が簡単に見出せるから良いのですが、パッと見ただけじゃ規則性の見出しにくい数列は、漸化式を解いて得られた第n項について、やはり帰納法によって証明する必要があるという捉えになるのでしょうか。
以上になります。言葉足らずなところがあるかも知れません。また、筋違いな質問でしたらご容赦下さい。宜しくお願い致します。
お礼
等号はn=0の時に成立しますね。 帰納法使えばすぐの簡単な問題でしたね。 解説ありがとうございます。
補足
これだと a[n]<2^n になって，"≦"にはなりませんよね?? 問題では"≦"となっているのですが，等号が成立する場合があるのでしょうか??