この証明教えて下さい！

質問

１+１/２+１/３+１/４+・・・・+１/ｎの解が整数でないことを証明したいんですが、うまく証明できなくて困ってます。教えて下さい。

回答No.8

oshiete_goo · ベストアンサー

[補足]
筆者もNo.5(kony0さん)と同意見で, 一度聞いた気もするのですが, 証明が浮かばずにいました.
No.7の証明なのですが, 基本的アイデアは大正解でしょうが, 惜しいキズがあって,"2^mで割れる, 割れない"でなくて, "2で割れる, 割れない"などとやるのでは?
naruseさんは既にお気づきかとも思いますが，ピンと来ない人のために少々補足します．

＞l/(2^m)の以外の項はすべて2^mで割り切れて、
などの部分が修正が必要です．

n=4のとき
1+1/2+1/3+1/4=(12+12/2+12/3+12/4)/12=(12+6+4+3)/12
と書いてみれば分かるように

まず, 最小公倍数l=12は4=2^2の倍数です.
最後の4=2^2に対応する分子の項のみ(もう)2で割り切れなくて, 他の項は(例えば2^(m-1)に対応する項も)2で割り切れます. それに対して分母lは勿論（n≧2より）2で割り切れます．よって右辺の分母は2の倍数なのに，分子は1項のみ2で割り切れない[つまり奇数]で，他の項は2で割り切れる[偶数]ので，分子全体は奇数で，”奇数÷偶数は整数にならない”

なお，nが2の累乗でないときも，2^m ≦ｎ＜2^(m+1) なる最大の2^m を持ってきて同様に議論すればよいのは，naruseさんの証明の方針どおりです．

回答No.9

nozomi500

No.3です。すんません。
アナログ人間なもんで、グラフにしたとき、だんだん「ねて」くるやつは収束する感覚でいたのですが、考えてみれば、ｙ＝√x　のグラフだって、だんだん「ねて」くるけど、無限に増えますね。

回答No.7

鳴瀬 美幸（@naruse）

1,2,3,…,nの中で2^k（2の冪）の形をしていてる数の最大を2^mとする。
さて、1,2,3,…,nの最小公倍数をlとして、
(*) 1+1/2+1/3+…+1/n=(l+l/2+l/3+…+l/n)/l
と変形する。
右辺の分子の各項を眺める。
l/(2^m)の以外の項はすべて2^mで割り切れて、
1/(2^m)は2^mで割り切れない。
これより、分子は2^mで割り切れない。一方、分母lは2^mで割り切れる。
故に、(*)は整数ではあり得ない。

回答No.6

Asihana

・・・・・+1/ｎ
が整数になるようなｎが存在しないことを示せという出題かな？
存在しないかどうか知らないが。

回答No.5

kony0

ていうか、質問者の意図とぜんぜん違う回答ばかり投稿されてそうな気がしなくも。。。

この問題って、S(n)=Σ(i=1~n) 1/i が「２以上の任意の自然数ｎに対して」整数でないことを示す問題だったりしませんか？
なんか、n→∞のときに発散するとか、どーでもえぇような気がするのですが。

いや、証明は考えてないんですけどね。

回答No.4

mitsukan

Sn=１+１/２+１/３+１/４+・・・・+１/ｎとおく。

f(x)=1/x　とすると、　Sn=Σf(k) {k(1→n)}なので

Sn>∫1/xdx=log(n+1) {∫1→n+1}

lim　Sn≧lim　log(n+1)=∞
n→∞　　n→∞

よってlimSnは∞に発散する。

証明終了

わかりました？　No.3の方？

回答No.3

nozomi500

2の回答。
>無限級数　１+１/２+１/３+１/４+・・・+１/ｎ+・・・・・・
>であれば∞に発散しますけど。

だんだん、幅が小さくなるから、無限に大きくはならないと思うが・・・。

それはともかく、
「解」って、「方程式」じゃないでしょ？

回答No.2

mitsukan

無限級数　１+１/２+１/３+１/４+・・・+１/ｎ+・・・・・・
であれば∞に発散しますけど。
nは何を表しているのですか？　問題にはそれ以外のことかかれていませんか？

回答No.1

Mell-Lily

1+1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/n
の解とは何でしょうか？