背理法を使わない証明

質問

２つの正の整数m,nについて、m^(1/n)が有理数ならばm^(1/n)は整数であることを証明せよ

とりあえずn乗してm=p^n/q^nとなりました。

どなたか詳しく教えてください！

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

>「これは 整数ではない有理数の n乗は 決して整数にはならない
>という命題と同等ですね。」
>なぜこのようなことが言えるのですか？

あなたとどうよう 両辺を n乗したからです。

m^(1/n) = 有理数

n乗すると

m = (有理数)^n

m は整数だから (有理数)^n も整数です。

回答No.5

178-tall

< ANo.2 補足

>「これは 整数ではない有理数の n乗は 決して整数にはならないという命題と同等ですね。」
>なぜこのようなことが言えるのですか？

有理数 s/t (t>1) の整数ペアは互いに素とする。
…ならば、s/t の自然数乗 (s/t)^n = (s^n)/(t^n) の整数ペアもまた互いに素、つまり「決して整数にはならない」。

回答No.4

tattutattu

No.1の者です。

m^(1/n)が有理数　→　mのn乗根に対して、根号がない状態

ということを最低限満たします。
この「根号がない状態」とは√が無理数であることを証明すればよいのですが、やはり、ここで背理法を使ってしまうと思います。そもそも、√の定義にかかわる問題であり、触れるべきではありません。
また、「根号がない状態」について考えると、

mのn乗根　-> a/b　と表せるはずです。（有理数であるため。）

式で考えますと、

m^(1/n) = a/b

m = (a/b)^n

ですが、mは整数であるので、a/bが整数でなかった場合、(a/b)^nは整数になりえません。
そこで、m = A ^ n (Aは整数）
と表せます。ここで、

（A^n)^(1/n) = A ^ (n/n)
= A

となり、m^(1/n) = A なので、整数ということが導けるかと思います。

回答No.3

noname2727

No1の補足

m＾（1/n）が有理数なので

有理数aを用いて

m^(1/n)=a

つまり

m＝a^n

と表される

ということですね

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

これは 整数ではない有理数の n乗は 決して整数にはならない
という命題と同等ですね。

整数ではない有理数　を a/b (ｂは1 でも-1でもなくて、a, bは互いに素な整数)
とすると (a/b)^n = a^n/b^n は分母/分子に共通の素因数を持たないので
決して割り切れない。

証明終わり。

補足

「これは 整数ではない有理数の n乗は 決して整数にはならない
という命題と同等ですね。」
なぜこのようなことが言えるのですか？

回答No.1

tattutattu

m^(1/n)が有理数になるためには、

m = a^n とならなければならない。（aは有理数）
ここで、mは整数であるので、a^nも整数である。
つまり、aが整数であるとき以外、mは整数とならない。
つまり、

m^(1/n) = (a^n)^(1/n)
= a
となり、aは整数なので、m^(1/n)も整数である。

補足

あんまりしっくりきません。
「m = a^n とならなければならない。」とありますが、これを証明しないといけないのでは？