互いに素であることの証明問題です

質問

互いに素であることの証明問題です

a　と　b　は２つの整数であるとします
今　a　と　bは互いに素であることが分かっているとして
a^n　と　b　が互いに素であることを証明しなさい
(nは　n＞0　の整数)

という問題なのですが
互いに素になることは分かるのですが
証明をせよと言われるとどうしていいか分かりません
数学的帰納法を使えばいいのでしょうか？？

お手数ですがお分かりになられる方
教えていただけませんか
お願いします

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

おはようございます。

方針としては、帰納法ではなく「背理法」になると思います。
一度、a^nと bが互いに素ではないとして矛盾を引き出します。

・「互いに素ではない」ことを式でどう表すか？ですが、
言い換えれば「1ではない共通の約数をもつ」ということですから、
このことを式で表します。

・「aと bが互いに素である」ことを上記で記した式で考えると、
「共通の約数」に矛盾が生じます。

この方針で証明できると思います。

お礼

とても分かりやすい回答
有難うございました

おかげさまで証明することが出来ました

本当に有難うございました

回答No.2

Tacosan

使っていい材料 (命題) による. たぶん, 「互いに素であることと共通素因数が存在しないことが等価」であることは使っていいんだよね? 加えて
・素因数分解の一意性定理を使っていいなら何も考えずそのまま.
・素数 p に対し「p|ab なら p|a または p|b」を使っていいなら背理法か.
・はたまた「a, b の最大公約数が d ならば ax+by=d となる整数 x, y が存在する」ことを使っていいなら帰納法くらい.

お礼

色々やり方があるのですね
私は帰納法ぐらいしか思いつきませんでした

有難うございました