級数に関する証明

質問

任意の整数nについて次の関係式が成立するとき
　a(n　+　N)　=　k・a(n)
　但し,N,kは,いずれも正の整数の定数.a(n)は,正の実数.
次の式が成り立つことが証明可能でしょうか.
　a(n　+　1)　=　k^(1/N)・a(n)
注:^はべきを表す.

回答No.4

kumipapa · ベストアンサー

なかなか回答者の皆さんの言われている意味が質問者さんに伝わらないようですね。

確かに、a(n)が公比 r の等比数列であれば、k=r^n として a(n+N) = k a(n) は成立します。
しかし、質問者さんは、その逆で、a(n+N)= k a(n) ならば a(n) は公比k^(1/N)の等比数列だということを証明したいわけですよね。で、その答えは、「a(n+N) = k a(n)という条件だけなら a(n) は等比数列である必要がないことを証明できる」です。a(n+N) = k a(n)という条件だけではa(n)は（公比k^(1/N)の）等比数列とは言えないし、その必要はありません。そもそも、a(1),a(2),...a(N)まで何も定めが無いのですからa(1)からa(N)はどんな数列でも構わない。乱数列でも構わない。で、そういうでたらめなa(1)からa(N)に対して、 a(n+N)=k a(n) で a(N+1)以降の項を作ってやれば条件は満足してしまうのだから、a(n) 自体が等比数列である必要は全くないのです。
その例が#1さんが示された反例であり、また、「a(n+N)= k a(n) ならば a(n) は公比k^(1/N)の等比数列だ」と言いたいならば、条件として、a(1),a(2),...,a(N)までの項をそのように与えないと駄目ですよ、と言われているのが#2さんです。で、そのことを理解しようよって言われているのが#3さん。
#1さんが示されたのをちょっと書き加えると、
a(n) = 2×10^(n-1)
b(n) = 3×10^(n-1)
と適当に２つの等比数列を持ってきて、
c(2n+1)=a(n), c(2n) = b(n) と数列c(n)を定義してやれば、c(n+2) = 10×c(n)を満足するわけで、これが、N=2, k=10のときの一つの例。

結局、a(n+N) = k a(n) ならばa(n)が公比 k^(1/N) の等比数列であるとするためには、a(1)からa(N)までを公比 k^(1/N)の等比数列だという条件を追加してやらないといけないので、なんというか、ちょっとむなしいですね。

お礼

言われるように12の独立な初期条件だけでは言われるようにダメで,別に次の条件があればいえることが分かりました.
任意のnについて,
a(n +　1)　=　f(a(n))
お騒がせいたしました.有り難うございました.

補足

懇切なご説明有り難うございます.
言われることは理解できますが,もしそうであればこの結果から道日だされる別のことがすばらしいと思っています.
ただ,ここでいうnは任意の整数(正と負を含む)としたときに,いいかえれば,nの－無限大から+無限大までの数列を作ったときに同じ事がいえるかどうかを問題にしているのですが.どうでしょうか.

回答No.3

Tacosan

#1 が反例になっていることに気付いていないんでしょうか?

補足

関心を持っていただいて有り難うございます.
問題が正確に伝わっていないのではないかと思います(あるいは,私が何かとんでもない間違いをしているかも知れませんが).
説明のために私の"証明"－気に入っていませんが－を書いてみます.
関数a(n)を次のようにおいてみます.
a(n)=c^n
これは次のようにして最初の式を満足することが分かります.
左辺は, c^(n +　N)
右辺は,k・c^n
これが等しくなるためには,=とおいて
c^(n+N)=k・c^n
c^N=k
c=k^(1/N)
cとNとkの間に上記の関係があれば,a(n)=c^nは最初の式を満たします.この関係が成立すれば,
a(n+1) = c^(n+1)=(c^n)・c=k^(1/N)・a(n)
で証明すべき式が成り立ちます.
この"証明"は,論理的にc^nが導かれていないので,証明としては,十分ではなく,他にいい証明の方法があれば教えていただきたいと思っています.

回答No.2

nettiw

初期条件を、
b｛k^(0/N)｝,b｛k^(1/N)｝,b｛k^(2/N)｝,・・・,b｛k^( (N-1)/N )｝
と与えれば。

補足

早速ご回答有り難うございます.
実は,この証明で,ヒューリスティックにa(n)　=　c^nとおけば,直感的には成り立つことに気がついてはいるのですが,できれば,論理的に上記の証明が導き出せればと思っています.

回答No.1

noname#44733

成り立ちませんね。

2,3,20,30,200,300,・・・
（N=2,k=10）

お礼

遅くななりましたがありがとうございました.

補足

早速ご回答いただき有り難うございます.
証明すべき式のk^(1/N)は,kのN乗根の意味のつもりです.