数学IIの複素数について

質問

１）ｘ＾２+ｘ+１＝０の複素数の範囲での解を求めよ。また、この解がｘ＾３＝１をみたすことを示せ。
２）（１+２ｉ）＝－３+４ｉであることを使って、ｘ＾２+（３+４ｉ）ｘ+（－１+５ｉ）＝０
１）は、ｘ＾２+ｘ+１＝０を解の公式で解いて、ｘ＝｛－１±√（３）ｉ｝/２になることはわかったんですが。「また、この解がｘ＾３＝１をみたすことを示せ。」の意味がわかりません。どうやったらよいですか。
２）この問題はぜんぜんわかりません。どうしたらよいですか。

回答No.1

noname#47975 · ベストアンサー

１）
ｘ＾３－１＝（ｘ－１）（ｘ＾２＋ｘ＋１）になる事を利用します。
ｘ＾２＋ｘ＋１＝０の解をαとおきます。
すると、α＾２＋α＋１＝０となるので、（αー１）（α＾２＋α＋１）＝０
なので、（αー１）（α＾２＋α＋１）＝（α＾３－１）＝０
より、α＾３＝１となります。

２）
（１＋２i）＝－３＋４i？
おそらく、（１＋２i)^２ = ー３＋４iの間違いではないでしょうか？

ｘ＾２+（３+４ｉ）ｘ+（－１+５ｉ）＝０
まず、解の公式に当てはめて解いて行って下さい。
すると、√の中の式を整理すると、－３＋４iになるはずです。
そこで、（１＋２i）＾２ ＝　－３＋４iの関係を使うと、
√を外す事が出来ますね．．。

回答No.2

ymmasayan

１．２つの解をａ，ｂとすると
　ａ＾３＝１，ｂ＾３＝１になることを証明すればいいでしょう。
２．問題に誤りがあるようですね。
　（１＋２ｉ）＾２＝－３＋４ｉでしょうね。
　解を求めると√の中が－３＋４ｉになります。
　するとルートが簡単に開けますね。

頑張って下さい。