数学II

質問

解と係数の関係の範囲の問題です。

x^2-3x-1=0の2つの解を α 、βとするとき、2数 α ^2-1、β^2-1を解とする二次方程式を求めよ。また、その解を求めよ。

自分でも一応やる努力はしましたが解けませんでした…。なのでだれか解答を教えて下さると助かります。誰かお願いします。

回答No.2

info33 · ベストアンサー

> x^2-3x-1=0の2つの解を α 、βとするとき、
(x-α)(x-β)=x^2-(α+β)x+αβ=x^2-3x-1
α+β=3, αβ= -1 ... [1]

> 2数 α ^2-1、β^2-1を解とする二次方程式
[1] より
(α ^2-1)+(β^2-1)=(α+β)^2-2αβ-2=3^2+2-2=9, α ^2+β^2=9+2=11,
(α ^2-1)(β^2-1)=(αβ)^2-(α ^2+β^2)+1= 1^2 -11+1= -9,
二次方程式の解と係数の関係より, 求める二次方程式は
x^2 -9x-9=0,
この解を求めると
x=(9±√(81+36))/2=(9±√117)/2

回答No.3

asuncion

x^2 - 3x - 1 = 0において、解と係数の関係より
α + β = 3, αβ = -1
このとき、α^2-1, β^2-1を2解とする方程式の一つを求めたい。
A = α^2-1, B = β^2-1
とすると、
A + B = (α^2-1) + (β^2-1) = α^2 + β^2 - 2 = (α + β)^2 - 2αβ - 2 = 9
AB = (α^2-1)(β^2-1) = (αβ)^2 - (α^2 + β^2) + 1 = 1 - 11 + 1 = -9
であるから、A + B, AB（つまりα^2-1, β^2-1）を2解とする方程式の一つは
x^2 - 9x - 9 = 0
となる。
この2解は、解の公式より、
x = (9 ± √(81 + 36)) / 2 = (9 ± √117) / 2 = (9 ± 3√13) / 2

回答No.1

nihonsumire

α+β, αβの値は分かりますよね。α+β=〇の両辺を2乗して、α^2+β^2を求めておきます。
(x-(α ^2-1))(x-(β^2-1))=x^2+(-(α ^2-1)-(β^2-1))x+(α ^2-1)(β^2-1)
これを整理すれば、あとは式の値の問題です。