数II複素数

質問

x⁴+4を複素数で因数分解して
(x+1-i)(x+1+i)(x-1-i)(x-1+i)になるまでの途中式を教えてください。

有理数と実数で因数分解した場合は
(x²+2x+2)(x²-2x+2)になるのはわかるのですが、
(x+1-i)(x+1+i)から(x²+2x+2)にならないし
(x-1-i)(x-1+i)から(x²+2x+2)にならないので混乱してしまいました。

回答No.2

178-tall

有理数と実数で因数分解した場合は
>(x²+2x+2)(x²-2x+2)になるのはわかるのですが…
　　↑ なるほど、
　(x^2+2x+2)(x^2-2x+2) = (x^2+2)^2 - (2x)^2 = x^4 + 4
ですね。

>(x+1-i)(x+1+i)から(x²+2x+2)にならないし…
　　↑ エッ？
そうなりますけど。
　(x+1-i)(x+1+i) = x^2 + { (1+i)+(1-i) }x + (1-i)(1+i)
　= x^2 + 2x + 2

>(x-1-i)(x-1+i)から(x²+2x+2)にならないので混乱してしまいました。

…以下、同文。

回答No.1

SKJAXN

x^2＋2x＋2＝(x＋1)^2＋1＝(x＋1)^2－i^2＝(x＋1＋i)(x＋1－i)
x^2－2x＋2＝(x－1)^2＋1＝(x－1)^2－i^2＝(x－1＋i)(x－1－i)
ですので、
x^4＝(x＋1－i)(x＋1＋i)(x－1－i)(x－1＋i)
となりますよ。