半径∞の円を使い直線に近似させる

質問

先日、必ず原点を通る円の半径r→∞の極限を取った時に円の方程式が直線x=0に変形出来るのかと質問をし、可能との結論に達しました。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2937317.html
回答内容は以下のようなものです。

原点を通る円：(x-r)^2+y^2=r^2
変形し両辺をｒで割るとx^2/r-2x+y^2/r=0
ｒ→∞の極限をとるとx=0
従って原点を通る円の半径を大きくすると直線x=0に近似出来る。

しかしよく考えてみると、回答の変形方法では「原点付近である」の条件を何も入れてないのに直線x=0になります。図形で考えると円はどこまで行っても円です。「原点付近」との条件を加えて初めて直線x=0に近似される筈です。この条件なくば近似出来ない筈です。なのに上記回答ではx=0が算出されてしまってます。例えば円の頂点付近はどうしたって直線x=0にはなりません。

どうしてx=0が算出されてしまったのでしょうか？
正しい解答はどうなるのでしょうか？

回答No.8

rabbit_cat · ベストアンサー

＃３です。
ε-δで書けば、本当に明確になると思いますが、ε-δはたしかに書くほうも読むほうも面倒ですし直感的な説明で。

＞回答の変形方法では「原点付近である」の条件を何も入れてないのに直線x=0になります。
上で示された変形
＞原点を通る円：(x-r)^2+y^2=r^2
＞変形し両辺をｒで割るとx^2/r-2x+y^2/r=0
＞ｒ→∞の極限をとるとx=0
に、matchamanの意味（rをある特定の値に固定したとき）での「原点付近である」という条件がしっかり含まれているんですが。

まず、 (x-r)^2+y^2=r^2 から始まっていますが、これは、円周上の点y座標が与えられたときに、x座標を決める式です。つまり、この論理は、まず最初に「ある特定（有限）のy座標について考える」という前提が入っています。
次に、「ｒ→∞でx=0となる」としていますが、これは、その特定のyに対応するxの値がｒ→∞で0になるといっているわけです。
結局、この変形が全体として言っているのは、
　１．（有限な）任意のyを考える。
　２．このとき、r→∞とすると、１で考えたyに対応するxの値は0に収束する
といっています。一言で言えば、「任意のyについてx=0に収束する」ということです。（各点収束）

最初に大きなyの値をもってくれば、x≒0にするのに必要なrの大きさはどんどん大きくなっていきます。
ということは、ある特定のrの値（例えばr=1000000とか）では、y<1000以下では十分x=0に近いけど、y>1000以上ではx≒0になってないわけｄす。y<10000以下でx≒0にしようとしたら、r=1000000000にしないといけないでしょう。（値は適当）
つまり特定のrを先に決めたら、x≒0になるのは、つねに原点付近（yがある値以下）だけです。

各点収束に対して、一様収束というのは、特定のrを決めたら、全てのyでx≒0になるようなものをいいます。たとえば、
直線 x=1/r
は、r→∞にすれば、直線x=0となります。この場合は、例えば、r=10000000にすれば、全てのyに対してx=0.00000001≒0になります。
このように、rを大きくしていくと、全てのyについて一斉にxが0に近づくような場合を一様収束といいます。

それから、全く別の問題として、＃５さんの指摘にもありますが、
＞変形し両辺をｒで割るとx^2/r-2x+y^2/r=0
＞ｒ→∞の極限をとるとx=0
という変形は、ちょっと正しくないです。
yは（暗黙のうちに）有限としているので、y^2/r→0 はOKですが、
xは有限とは限らないので、x^2/r → 0は言えません。（∞/∞の不定形になる可能性があります）
実際、x→2r でもOKですし。

というわけで、論理を完璧にするには、平面に無限遠点を加えるとか、原点を通る円(x-r)^2+y^2=r^2のうちでx<rの部分のみ考えるとか、
前提条件を微妙に変更する必要があります。

お礼

詳細な説明をありがとうございます。
ｒがある一定値以上大きければ全部収束とはとても言えないので、一様収束はしない。また、ｒをどんなに大きくしても例えば円の左側は収束しないので各点収束もしない、との結論になりそうですね。原点付近との条件を付けるなら質問文の回答方法で収束する、と言えると思いますがその理解でいいでしょうか。

回答No.11

einart

＞b=0,a=rの条件では円はｘ軸対称ですが、下半円だけが収束するのはなぜなのでしょう。

僕の書いた図が９０度曲がっていたようです。
その条件だと

　yの取る値が有界区間[-R、R]で、左半円は直線ｘ＝0に一様収束

です。b=r、a=0のときに下半円がy=0に云々　ということです。

お礼

ありがとうございます。
理屈がわかりました。

回答No.10

einart

原点を通る円
　(x-a)^2＋(y-b)^2＝r^2　　（a^2＋b^2＝r^2　を満たす）
の下半円はｒ→∞で有界区間で直線
　bｙ＝-aｘ
に一様収束します。

簡単のためにｂ＝0、ａ＝ｒ、有界区間[-ｎ、ｎ]としますね。
さらにｒ＞ｎとして一般性を失いません。
この区間において直線と下半円のy軸方向の距離の最大値（つまり一様収束ノルム）は
　ｒ－√（ｒ^2－n^2）　－　0
です。これはｒ→∞で0に収束しますね。（εで抑えたい人は好きにしてください）

matchamanの質問は円の頂点は上半円での出来事に疑問を抱いてる模様、この場合同様にやってみると
　ｙ＝ｒ
の直線でこれは収束しません。
もちろん有界区間でないとやはり無理です。

■数学好きな方
ちなみに複素平面が2次元平面なのを利用してリーマン球面を考えてみると
　｛0｝と｛∞｝を通る直線！それとも円と呼ぶのか！？
に収束します。
地球の南極と北極を通って一周するようなものなので、a,bの与え方で出発する方向が変わるだけ。イメージし易いですか？
こちらなら円を半分に分けなくともキレイにまとまりますね。

お礼

ありがとうございます。
詳細は申し訳ありませんが今ひとつ理解し切れませんでした。b=0,a=rの条件では円はｘ軸対称ですが、下半円だけが収束するのはなぜなのでしょう。

回答No.9

noname#101087

>観念的にはそんな気もしますが、例えば中心に対して反対側の点は収束しない、原点付近ならば収束する等の展開になってほしいと思うのです。

もとの問題は、
　原点を通る円にて、原点を通ったまま半径をどんどん大きくしていけば、原点近くの円周は直線に近似する
でしたね。原点を通る円を「収束列」とし、近似直線を「収束先」と呼びましょう。
明らかに「収束列」と「収束先」は別物です。辛うじてε-δ論法でつながっているだけなのです。
そして収束の過程を通じての「収束列」の不動ポイントは原点だけですね。

そんな状況なので、「収束列」にある「中心に対して反対側の点」は「収束先」にありません。
強いて言えば、「収束列」の原点が「収束先」の近似直線に対応し、「収束列」の原点以外は「収束先」の無限
遠点に対応する、ということになりそうです。

お礼

ありがとうございます。

回答No.7

noname#101087

#6 です。

>「原点付近である」の条件を何も入れてないのに直線x=0になります。.....

…というわけじゃないと思います。

「原点を通る円」が
　(x-r)^2+y^2=r^2
にせよ、中心をずらした
　(x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2
にせよ、はじめの円はもちろん、半径を増大させていくときも「円周が原点を通る」という条件下で式を作成・変形してます。
円周が原点を通る直線に「収束」するのは当然の結果じゃないでしょうか。

お礼

ありがとうございます。
観念的にはそんな気もしますが、例えば中心に対して反対側の点は収束しない、原点付近ならば収束する等の展開になってほしいと思うのです。＃４にあるようにx^2/r→0（r→∞)と仮定した事が原点付近と仮定したことになるのだと思います。

回答No.6

noname#101087

>どうしてx=0が算出されてしまったのでしょうか？

焦点がずれますけど、x=0 とは限らない、ということを少々ばかり。

「原点を通る円」は
　(x-r)^2+y^2=r^2
だけではありません。

その中心をずらした
　(x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2
もそうです。
a= kbという条件をつけてみると、
　(x-kb)^2+(y-b)^2=(1+k^2)*b^2
と表せます。
　x^2-2kbx+y^2-2by=0
　kx+y=(x^2+y^2)/2b
と変形してから b→∞ とすれば、
　y=-kx
という「原点を通る直線」に近づくでしょう。

お礼

ありがとうございます。
中心座標を軸上からずらしたのですね。

回答No.5

fjfsgh

各点収束の意味でも、一様収束の意味でも、
原点を通る円：(x-r)^2+y^2=r^2
は
直線x=0
に収束するとはいえません。

平面に無限遠点を付け足して、距離もうまく定義すると、
各点収束の意味でも、一様収束の意味でも、期待通りの結果が得られると思います。

お礼

ありがとうございます。
他回答にもありますが各点収束、一様収束について知識が必要なのですね。残念ながら学力的に厳しいところがあります。

回答No.4

dephands

数学的ではないですが、、、。

極限操作によって(x^2+y^2)/rを0に等しいとみなしているのですから、x^2+y^2は、rより十分小さい領域でなければ使えません。
rと比べてとても小さい領域を扱っているという意味で、rという大きさから見れば、x,yは、原点付近であるといっているようなものです。

お礼

ありがとうございます。
御回答のおかげで、誤ってる場所が分かりました。
点によってはr→∞に伴いx,y→∞になりますね、確かに。

回答No.3

rabbit_cat

大学生ですか？
各点収束と一様収束の違いを調べてみてください。

お礼

太古の昔に大学生でした。各点収束と一様収束、おそらく解析学だろうと思いますが、劣等生でしたので全く分かりません。宿題ではなく興味本位の質問なので、（よろしければ）ズバリ教えて頂けると有難いです。しかし回答内容がε-δとかになると、おそらく理解出来ないと思います。

回答No.2

ceita

原点を通る円を仮定しているのですから、
当然原点を通るわけですよね。

無限というのが概念の存在ですので、
図形という実際のものとは違います。

お礼

ありがとうございます。
すみません、よくわかりません。

回答No.1

Tacosan

「円の頂点」ってどこだよと思いつつ, 極限をとっているために性質が変化したってところがポイントかな.
逆にいえば, 「極限をとらない限り円のまま」ということ.

お礼

ありがとうございます。
円の頂点、、、指摘があるかも知れないと思いましたが、θ=90°と書いても中心は原点でないし、あ、１２時の方向と言えば分かるか？と思いましたが、およそ数学とは思えない表現だったので感覚に任せて書きました。