円の半径を求めたいのですが・・・

質問

添付画像で、円の半径 r を求めることはできますか？

条件：
1) 直線 AB と BC の長さが既知
2) r および θが不明
3) 円は、点Cにおいて直線 l と接する

直感的に、この条件下で A と C を通る円弧を描くべき r は１つしかないと思うのですが、、、
三角関数を使って考えてみましたが、どうしても分かりませんでした。

何か、別の計算で求まるものでしょうか。(T_T

回答No.4

spring135 · ベストアンサー

AB=rsinθ=a（既知） (1)

BC=r-rcosθ=b（既知）　(2)

(2)より

rcosθ=r-b (3)

(1)^2+(2)^2より

r^2=a^2+(r-b)^2

これより

r=(a^2+b^2)/(2ab)

(1)に代入して

sinθ=2ab/(a^2+b^2)

お礼

ありがとうございます！
貴重なヒントを頂き、感謝します。ピタゴラスの定理だけで、確かに r が求まりますね！

r=(a^2+b^2)/(2ab) ですが、
正しくは r=(a^2+b^2)/(2b) ですね。

悩みが晴れて、スッキリしました。

補足

回答してくださった方、ありがとうございました。
すぐに解決いたしました。

とても丁寧に解説していただいた No.4 さんと No.5 さんで迷いましたが、関数電卓が無くても計算できる方法を気づかせていただいた No.4さんを、BA とさせて頂きます。

回答No.5

unagi-pie

誤差が累積しますが各ステップで数値を出すならこんなところで。

tan∠ACO = 250/100 = 2.5
∴ ∠ACO = tan-1 2.5 ≒ 68.2 [°]
∴θ = 180 - (∠ACO * 2 ) ≒ 43.6 [°]

ところで
tanθ = AB / OB = 250 / OB ≒ tan 43.6°≒ 0.95
∴ OB ≒ 0.95 * 250 = 263.2

∴ r = OB + 100 ≒ 363.2

お礼

ありがとうございます！
θ = 180 - (∠ACO * 2 ) という所で、自分がほんとうに大事な所を見落としていることに気づきました。
とても簡単に 求まりますね。

回答No.3

maiko0318

sinθ=AB/r　だよね。こっちのほうが簡単かな。

お礼

ありがとうございます。
sinθ=AB/rは存じておりますが、θが分かりませんので、rを求めることが できないのではないでしょうか。

補足

すみません。θが求まることが分かりましたので、そうすれば sinθでも導いていけますよね。
ありがとうございました。

回答No.2

maiko0318

なら、AB/OBがtanθじゃないですか？これでAB=250ならOBがわかる。
BCは既知であるからOC=rですよね。

お礼

ありがとうございます。
θがわかりませんので、ABだけでは r を求めることが できないのではないでしょうか。

補足

すみません。わかりました。
θがすぐ求まるという事が理解できていませんでした。その先の事をおっしゃられていただけなのですね。
ありがとうございました。

回答No.1

ShowMeHow

ＡＣに補助線を引けばarctanで
角ＡＣＢ＝180-θ
がもとめられ、あとは簡単。

お礼

ありがとうございます。
たしかに、∠ACBを求めるのは簡単にできるのですが、∠OAC が分からないので、θを求めることができません。
∠ACB = 180－θ から、どのように r を導いていけば宜しいでしょうか。

補足

すみません、わかりました。
rの2等辺三角形なので、∠OAC = ∠ACB ですね。
θがわかれば、あとは簡単ですね。本当にありがとうございます。