円の半径もとまる？

質問

ふと自分で考えた問題（？）なのですが。

原点中心半径r（＞2）の円があって
直線x=2と交わる交点をA，Bとして、
弧AB（短いほう）が2πのとき半径rは求まるでしょうか？

解答材料は十分なような気がしますが、求められません。
（足りない？）
求まるのでしょうか？求まるのならどのように？

回答No.3

grothendieck · ベストアンサー

ONEONEさん、こんにちは。扇形の中心角をθとすると
　rθ = 2π
　r cos(θ/2)=2
という方程式になり、θを消去すると
　cos(π/r) = 2/r
あるいは1/r=x とおくと
　cos(πx) = 2x
となります。これは超越方程式と呼ばれ、数値的にしか解けません。上の方程式を変形すると
　x = (1/π) arccos(2x)　…(1)
弦ABの長さを近似的に2πとするとx=1/√(4+π^2) なのでこれを第一近似として(1)の右辺に代入。その結果を再び(1)の右辺に代入…という繰り返しでrが求められます(ニュートン方の方が収束は早いが)。その結果、r=3.3635399172, θ=1.868027572となりました。ご参考までに下にプログラムを示します。
#include <stdio.h>
#include <math.h>
# define Pi 3.14159265358
int main(void){
double x;
int i;
x= 1.0/pow(4.0+pow(Pi,2),0.5);
for (i=0; i<100; i++){
x= (1.0/Pi)*acos(2.0*x) ;
}
printf("r= %13.10f\n",1.0/x);
printf("theta= %13.10f\n",2.0*Pi*x);
return (0);
}

お礼

超越方程式・・・聞いたことないです。
しかしcomputerはすごいですね。
ありがとうございました。

回答No.4

0shiete

#2ですが、
#2の回答はExcelのゴールシークを用いて解いたものです。

#3様の回答のほうが精度がよいです。

お礼

ありがとうございました。
よくわかりました。
求まるけど求まらない。ということで。

回答No.2

0shiete

円の半径をr,弧ＡＢ（短い側）の中心角を2θとすると
rcosθ=2
rθ=π
の連立方程式になりますね。

数値的に解けば
r=3.362873
になります。

回答No.1

noname#24477

求まる、の意味によると思います。
２次方程式とかの解として求まるか、というような意味ならノーでしょう。
図形的に決まるけれども求まらない。

半径と角を未知数として
連立方程式を作れば三角関数を使って式が立てられると思います。
それが解けるかといえば解けないと思います。

お礼

どうもです。
僕の思ってた意味では解けない。ということになりますね。
ありがとうございました。
（しかし数値としては出る・・・）