数学II 円と直線

質問

数学の問題で、途中まで解いてみたもののわからなくなりました。
ご解説をお願いできたらと思います。

問題１，
円　X^2＋Y^2ー４KXー２KY＋２０K－２５＝０　は、
どんな実数Kに対しても２つの定点を通る。その定点の座標を求めよ。

やってみたこと　
円の式を、（　　　）＾２＋（　　　　）＾２＝半径２乗の形にしてみたがその後どうして良いかわからず。
Kについて整理してみたもののその後どうして良いかわからず。

問題２、
中心がX+Y=５　上にあり、半径が√１０である円がある。
この円が、X軸から長さ６の線分を切り取るとき、円の半径を求めよ。

やってみたこと
中心の座標を（M、N）とした。
X軸は、式がY=0の直線だとわかった。
そこで中心と半径を、
仮に決めた円の式（XーM）＾２＋（Y-Ｎ）＾２＝R^2　に代入した。
すると（XーM）＾２＋（Y-Ｎ）＾２＝１０　となった。
また、円と直線の交点座標を求めるため、↑の円の式にY=0を代入した。
この後どうして良いかわからなくなった。

上記のような状態です。
ご解説をお願いいたします。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

＞問題２、円の半径を求めよ

半径ではなく、円の方程式を求めよ、の書き込みミスだろう。
そのくらいは、回答者も察してやれよ。

円の中心をＰ(α、β)とすると、円は(x-α)＾2＋(y-β)＾2＝10　‥‥(1)　但し、α＋β＝5　‥‥(2)
y＝0とすると、x＾2-2αx＋α＾2＋β＾2-10＝0　である。
この方程式の2解が　x軸との2つの交点だから、それを、x1、x2(x1＞x2)とすると、x1＋x2＝2α x1*x2＝α＾2＋β＾2-10。
条件より、x1-x2＝6　　→　(x1-x2)＾2＝36　→　(x1＋x2)＾2-4x1*x2＝36　だから　β＾2＝1
・β＝1のとき、(2)よりα＝4　つまり、(x-4)＾2＋(y-1)＾2＝10　
・β＝-1のとき、(2)よりα＝6　つまり、(x-6)＾2＋(y＋1)＾2＝10

お礼

こちらのミスを汲んで下さり、ありがとうございます。
円の方程式を求めよ、でした。

具体的な途中式があり、
実際に手元で計算してみてとてもよくわかりました。
βの場合分けまで書いて下さりわかりやすかったです。
ありがとうございます。

回答No.10

puusannya

ありがとうございました。ご助言とご忠告には心いたしておきます。
今後もお気づきの事ありましたらご教授くださいますよう。

回答No.9

mister_moonlight

＞ｙ座標がＮの点からｘ軸へ下ろした垂線の長さは　｜Ｎ｜　である。」

それなら良いと思います、と言うより“許容範囲”というところか。

私が言いたいことは、座標の問題は素直に座標でやったほうがbetterだということです。
平面幾何を座標でやることがあるが、その逆は慎重にやったほうが良い。

回答No.8

puusannya

ｙ座標がＮの点からｘ軸へ下ろした垂線の長さは　｜Ｎ｜　である。」はだめですか。

回答No.7

mister_moonlight

＞長さにするには絶対値をつけなければなりません。」と考えるだけではだめでしょうか。

だめでしょうね。
それでは、答えがＮ＝±1　になることを前提にしている。
なぜ、x軸に関して対称になるようにとるか、の説明になっていない。
答えがわかってて解法を逆算しただけに過ぎない。

回答No.6

puusannya

Ｎ０．５の方のご指摘どおり、Ｎはｙ座標ですから、長さにするには絶対値をつけなければなりません。」と考えるだけではだめでしょうか。

底辺は３、高さは（　Ｎ　）、斜辺は√１０　ですから　（　Ｎ＝１　）　がでます。　の（　）内の

Ｎ　を　｜Ｎ｜　に、　Ｎ＝１　を　Ｎ＝±１　に

Ｍ＋Ｎ＝５　より　（　Ｍ＝４　）　がでます。の

Ｍ＝４　を　Ｍ＝４，６　に

と修正してもだめでしょうか。
これが理由にならないなら、とりあえず回答全体を消去させていただこうと思います。

回答No.5

mister_moonlight

ついでに、以下も書き換えてほしい。。。。。ｗ

＞底辺は３、高さはＮ、斜辺は√１０　ですから　（　Ｎ＝１　）　がでます。　の
＞Ｎ＝１　を　Ｎ＝±１　に

Ｎは高さなんだから、常に　Ｎ＞0。
従って、Ｎ＝-１　にはなりえない。
さて、どうするのか？　Ｎの絶対値を考えるにしても、理由が必要。

回答No.4

puusannya

Ｎｏ．２の回答者です。申し訳ありませんが、１箇所ミスをしていましたので、下記のように読み替えてください。

底辺は３、高さはＮ、斜辺は√１０　ですから　（　Ｎ＝１　）　がでます。　の

Ｎ＝１　を　Ｎ＝±１　に

Ｍ＋Ｎ＝５　より　（　Ｍ＝４　）　がでます。の

Ｍ＝４　を　Ｍ＝４，６　に

書き換えてくださいますようお願いをいたします。

回答No.2

puusannya

（１）「どんな実数Kに対しても」という言葉が出ていればそのｋについてまとめることでしょう。
ーｋ（４ｘ＋２ｙ－２０）＋（ｘ＾２＋ｙ＾２ー２５）＝０
どんなｋの値に対してもこれが成り立つのは
４ｘ＋２ｙ－２０＝０
ｘ＾２＋ｙ＾２ー２５＝０　が成り立つときですね。

連立して解いてください。　　　（ｘ、ｙ）＝（３，４）、（５，０）

（２）半径を求めよ。と書かれているのに半径√１０の円とも書かれています。
このまま　簡単に図を書いてみてください。
中心の座標を（M、N）とする
中心からｘ軸に垂線を下ろしてください。直角三角形ができますね。
底辺は３、高さはＮ、斜辺は√１０　ですから　Ｎ＝１　がでます。
Ｍ＋Ｎ＝５　より　Ｍ＝４　がでます。
これなら数IIの問題ではありませんね。
私が読み間違えているのでしょうか。

お礼

問題２，「円の式を求めよ」の誤りでした。申し訳ありません。
問題１は参考にさせていただきました。ありがとうございます。

回答No.1

WiredLogic

問題１

「どんな実数Kに対しても」(「実数Kの値に関わらず」とか、似たような表現でも)
を見て、何か感じるものありませんか？

「あ、Kについての恒等式」と思えたら、大正解で、
その点で、「Kについて整理してみた」のは、非常にいい線だったのですが、
おしかったですね。「Kについての恒等式」として、満たさないといけない
条件を考えれば、答えは、ポロリと転がってきます。

問題２

半径が与えられていて、半径を求めよ、は、おかしくないですか？
きっと、中心の座標を求めるんですよね？

で、あれば、「中心の座標を(M,N)とした」のは、必ずしも悪くありませんが、
条件から、M,Nの関係が解るので、未知数は１文字ですませた方が、
もっとよくありませんか？

で、「また、円と直線の交点座標を求めるため、↑の円の式にY=0を代入」
してでてくるのは、２つの交点のx座標、これが上から、M,Nどっちかの式で
出てきます。

で、「この円が、X軸から長さ６の線分を切り取る」ならば、その２つの
x座標について成り立つ式は？と、考えると、答え出てくると思います。

もしも「切り取る線分」の意味が解らないんだとしたら、
x軸の一部が、円の弦になりますよね。そこの部分のことで、
その弦の長さが６と言っている訳です。

お礼

問題２，「半径を求めよ」ではなく「円の式を求めよ」です。混乱させてしまい申し訳ありません。

具体的な式を描いてくださった別回答者さんにベストアンサー差し上げましたが、
参考にさせていただきました。
ありがとうございます。